Considere a seguinte matriz A e o seguinte vetor b:
Determine as matrizes A=(ccc 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 4 3 & 2 & 2 ), b=(c 0 10 -10 ) e L, U da fatoração P com pivoteamento parcial de L U;

Passo 1

Beleza, o problema pede para fatorar a matriz
A= 1 & 2 & 0 -1& 0 & 4 3 & 2 & 2
num produto usando pivoteamento parcial.
Conteúdo: eliminação de Gauss com pivotamento, matrizes de permutação , e matrizes triangulares inferiores (com 1’s na diagonal) e superiores .
Vamos precisar de:
  • Escolher, em cada coluna, o pivô de maior valor absoluto e trocar linhas (isso é o “pivoteamento parcial”).
  • Registrar essas trocas numa matriz .
  • Guardar os multiplicadores num .
  • Construir o resultante da eliminação.

Passo 2

Primeiro pivô (coluna 1): olhamos os valores P1 = 0&0&1 0&1&0 1&0&0 , P1A = 3 & 2 & 2 -1& 0 & 4 1 & 2 & 0 . O maior é ell21=-13=-tfrac13, ell31=13=tfrac13 na linha 3.
Então trocamos a linha 1 com a linha 3. Essa troca é representada por
L2to L2-ell21,L1, L3to L3-ell31,L1,
Agora, para zerar abaixo de ( -1,0,4) -(-tfrac13)(3,2,2)=(0,tfrac23,tfrac143), (1,2,0) -(tfrac13)(3,2,2)=(0,tfrac43,-tfrac23) , fazemos:
U^(1)= 3&2&2 0&tfrac23&tfrac143 0&tfrac43&-tfrac23 ,
As novas linhas 2 e 3 viram
L= 1 & 0 & 0 -tfrac13&1&0 tfrac13&0&1 (antes de trocar as linhas 2/3 em (L))
ou seja
Até aqui fica
e as colunas de já preenchidas são

Passo 3

Segundo pivô (coluna 2, restrito a linhas 2 e 3): comparamos P2 = 1&0&0 0&0&1 0&1&0 e U^(2)= 3&2&2 0&tfrac43&-tfrac23 0&tfrac23&tfrac143 , . O maior é L= 1 & 0 & 0 tfrac13&1&0 -tfrac13&0&1 (linha 3).
Trocamos linha 2 com linha 3 em ell32 = tfrac23tfrac43 = tfrac12 e nas linhas já calculadas de L3to L3-ell32,L2 ;Longrightarrow; (0,tfrac23,tfrac143) - tfrac12,(0,tfrac43,-tfrac23) = (0,0,5) (coluna 1). Isso é a matriz
Após essa troca, em temos
e em trocamos com na coluna 1, passando a ser
Agora zeramos a entrada :
Então

Resposta

A fatoração P = P2,P1 = 0&0&1 1&0&0 0&1&0 , L = 1 &0 &0 tfrac13&1 &0 -tfrac13&tfrac12&1 , U = 3 &2 &2 0 &tfrac43&-tfrac23 0 &0 &5 com pivoteamento parcial fica

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