Encontre o polinômio do segundo grau que interpola f(x) nos seguintes pontos:
x -1 1 3
f(x) -2 -1 2
Interpolação pela forma de Newton.

Passo 1

Beleza! A gente quer encontrar um polinômio de grau 2 que “passe” exatamente pelos pontos
, e , usando a forma de Newton de interpolação.
Conteúdo envolvido: diferenças divididas de Newton e construção do polinômio nessa forma.
Para resolver, vamos precisar:
  1. Definir e .
  2. Calcular as diferenças divididas de primeira e segunda ordem.
  3. Montar o polinômio de Newton e, se quiser, expandir.

Passo 2

Primeiro, rotula os pontos:
f[x0,x1] = f(x1)-f(x0)x1-x0 = -1 - (-2)1 - (-1) = 12,
f[x1,x2] = f(x2)-f(x1)x2-x1 = 2 - (-1)3 - 1 = 32
f[x0,x1,x2] = f[x1,x2] - f[x0,x1]x2 - x0 = tfrac32 - tfrac123 - (-1) = 14
Agora calcule as diferenças divididas de primeira ordem:
Depois, a diferença dividida de segunda ordem:

Passo 3

A forma de Newton para grau 2 é
P(x) = f[x0] + f[x0,x1],(x - x0) + f[x0,x1,x2],(x - x0)(x - x1)
Substituindo:
P(x) = -2 + tfrac12,(x + 1) + tfrac14,(x + 1)(x - 1)

Passo 4

Se quiser deixar na forma padrão P(x) = -2 + l(tfrac12x + tfrac12r) + l(tfrac14x^2 - tfrac14r) = tfrac14x^2 + tfrac12x + l(-2 + tfrac12 - tfrac14r) = tfrac14x^2 + tfrac12x - tfrac74 , é só expandir:

  1. Somando tudo:

Resposta

boxedP(x) = 14,x^2 + 12,x ;-;74

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