Considere o seguinte modelo para o crescimento de uma colônia de bactérias, baseado na equação logística:
u^{\prime}(t)=\alpha u(t)(A-u(t))
onde u(t) indica a densidade de bactérias em unidades arbitrárias na colônia e
\alpha e A são constantes positivas. Pergunta-se:
a) Se A=10, \alpha=1 e u(0)=1, use um método numérico de 2^{\text {a }} ordem para obter aproximação para u(t) de t=0 a t=1 e 5 intervalos.
k t_{k} u_{k}
0
1
2
3
4
5
b) Se A=10, \alpha=1 e u(0)=4, use um método numérico de 2{ }^{\text {a }} ordem para obter o tempo necessário para que a população dobre.
t=
Para os problemas de valor inicial abaixo, aproxime y(1) pelo método de Euler, utilizando (i) h=0.2 e (ii) h=0.1. Calcule o erro absoluto nas duas aproximações.
a) y^{\prime}=t^{2}-y e y(0)=1 \quad Sol. analítica: y(t)=-e^{-t}+t^{2}-2 t+2
  • h=0.2: \quad y(1)= □ e |E|=
  • h=0.1: \quad y(1)= □ e |E|=
    b) y^{\prime}=3 y+3 t e y(0)=1 \quad Sol. analitica: y(t)=\frac{4}{3} e^{3 t}-t-\frac{1}{3}
  • h=0.2: \quad y(1)= □ e |E|=
  • h=0.1: \quad y(1)= □ e |E|=
    C) y^{\prime}=-t y e y(0)=1 \quad Sol. analitica: y(t)=e^{-t^{2} / 2}
  • h=0.2: \quad y(1)= □ e |E|=
  • h=0.1: \quad y(1)= □ e |E|=

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado pede e os dados fornecidos (sem resolver nada ainda).
  • Modelo da colónia: \displaystyle u'(t)=\alpha u(t)(A-u(t)).
  • Parte 1 (a): parâmetros \displaystyle A=10, \displaystyle \alpha=1, condição inicial \displaystyle u(0)=1. Pedem: usar um método numérico de 2ª ordem para aproximar \displaystyle u(t) de \displaystyle t=0 a \displaystyle t=1 com 5 intervalos (ou seja, passo \displaystyle h=0,2) e preencher a tabela com \displaystyle t_k e \displaystyle u_k para k=0,\dots,5.
  • Parte 1 (b): mesmos parâmetros \displaystyle A=10, \displaystyle \alpha=1, condição inicial \displaystyle u(0)=4. Pedem: usar um método numérico de 2ª ordem para obter o tempo necessário para que a população dobre (isto é, o tempo em que \displaystyle u(t)=8).
  • Parte 2: Três problemas de valor inicial, pedir aproximar \displaystyle y(1) pelo método de Euler (método explícito de 1ª ordem) usando (i) \displaystyle h=0,2 e (ii) \displaystyle h=0,1. Em cada caso calcular o erro absoluto comparando com a solução analítica dada.
    • (a) \displaystyle y' = t^{2}-y,\; y(0)=1. Solução analítica: \displaystyle y(t)=-e^{-t}+t^{2}-2t+2.
    • (b) \displaystyle y' = 3y+3t,\; y(0)=1. Solução analítica: \displaystyle y(t)=\dfrac{4}{3}e^{3t}-t-\dfrac{1}{3}.
    • (c) \displaystyle y' = -t y,\; y(0)=1. Solução analítica: \displaystyle y(t)=e^{-t^{2}/2}.

Passo 2

Escolha do método para a parte logística e explicação didática do método (aula rápida e aplicável na prova).
  • Como o enunciado pede “um método numérico de 2ª ordem”, vou usar o método de Heun (também chamado de Euler melhorado ou método do trapézio explícito), que é simples, de segunda ordem e fácil de aplicar manualmente sem calculadora complexa.
  • Fórmulas do método de Heun (passo de tamanho \displaystyle h):
    • função do lado direito: \displaystyle f(u)=\alpha u(A-u). No nosso caso \displaystyle \alpha=1 e \displaystyle A=10, logo \displaystyle f(u)=u(10-u).
    • predictor (Euler explícito): \displaystyle \tilde{u}=u_{n}+h\,f(u_{n}).
    • corrector (média dos declives): \displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\dfrac{h}{2}\bigl(f(u_{n})+f(\tilde{u})\bigr).
  • Por que isso é 2ª ordem? Intuitivamente, porque usamos não só o declive no início do intervalo ( f(u_n)) mas também uma estimativa do declive no fim do intervalo ( f(\tilde u)) e fazemos a média; isso reduz o erro local ao nível O(h^{3}) e o erro global a O(h^{2}).
  • Vou aplicar passo a passo com \displaystyle h=0,2 (pois 5 intervalos em [0,1] \displaystyle h=1/5=0,2). Em cada passo mostro t_n, u_n, f(u_n), \tilde u, f(\tilde u) e u_{n+1}. Usei aritmética cuidadosa e arredondei os resultados finais dos u_k a 6 casas decimais para responder na tabela.
Aplicação do método para o caso (a) com \displaystyle u(0)=1, \displaystyle f(u)=u(10-u), \displaystyle h=0,2.
  • Passo k=0: \displaystyle t_0=0,\; u_0=1.
    • \displaystyle f(u_0)=1(10-1)=9.
    • \displaystyle \tilde u = 1 + 0,2\cdot 9 = 2,8.
    • \displaystyle f(\tilde u)=2,8(10-2,8)=2,8\cdot 7,2 = 20,16.
    • \displaystyle u_1 = 1 + \tfrac{0,2}{2}(9 + 20,16) = 1 + 0,1\cdot 29,16 = 1 + 2,916 = 3,916000.
  • Passo k=1: \displaystyle t_1=0,2,\; u_1\approx 3,916000.
    • \displaystyle f(u_1)=3,916000(10-3,916000)=3,916000\cdot 6,084 = 23,824944.
    • \displaystyle \tilde u = 3,916000 + 0,2\cdot 23,824944 = 8,6809888.
    • \displaystyle f(\tilde u)=8,6809888(10-8,6809888)=8,6809888\cdot 1,3190112 \approx 11,45032145.
    • \displaystyle u_2 = 3,916000 + 0,1\cdot(23,824944 + 11,45032145) \approx 7,443526545.
  • Passo k=2: \displaystyle t_2=0,4,\; u_2\approx 7,443526545.
    • \displaystyle f(u_2)=7,443526545(10-7,443526545)=7,443526545\cdot 2,556473455 \approx 19,0291786625.
    • \displaystyle \tilde u = 7,443526545 + 0,2\cdot 19,0291786625 \approx 11,2493622775.
    • \displaystyle f(\tilde u)=11,2493622775(10-11,2493622775)=11,2493622775\cdot(-1,2493622775)\approx -14,0545326.
    • \displaystyle u_3 \approx 7,443526545 + 0,1\cdot(19,0291786625 -14,0545326) \approx 7,940991151.
  • Passo k=3: \displaystyle t_3=0,6,\; u_3\approx 7,940991151.
    • \displaystyle f(u_3)=7,940991151(10-7,940991151)=7,940991151\cdot 2,059008849 \approx 16,349 (aprox.).
    • \displaystyle \tilde u \approx 7,940991151 + 0,2\cdot 16,349 \approx 11,2108.
    • \displaystyle f(\tilde u)\approx 11,2108(10-11,2108)\approx -13,578.
    • \displaystyle u_4 \approx 7,940991151 + 0,1\cdot(16,349 -13,578) \approx 8,218091151.
  • Passo k=4: \displaystyle t_4=0,8,\; u_4\approx 8,218091151.
    • \displaystyle f(u_4)=8,218091151(10-8,218091151)=8,218091151\cdot 1,781908849 \approx 14,644.
    • \displaystyle \tilde u \approx 8,218091151 + 0,2\cdot 14,644 \approx 11,1469.
    • \displaystyle f(\tilde u)\approx 11,1469(10-11,1469)\approx -12,787.
    • \displaystyle u_5 \approx 8,218091151 + 0,1\cdot(14,644 -12,787) \approx 8,403791151.
  • Os valores finais foram arredondados a 6 casas para preencher a tabela (apresentei os intermediários para que aprenda a reproduzir na prova).

Passo 3

Resumo em forma de tabela (valores usados na parte (a), arredondados a 6 casas decimais). Em cada linha está \displaystyle t_k e \displaystyle u_k.
  • k=0:\; t_0=0,\; u_0=1,000000
  • k=1:\; t_1=0,2,\; u_1=3,916000
  • k=2:\; t_2=0,4,\; u_2=7,443527
  • k=3:\; t_3=0,6,\; u_3=7,940991
  • k=4:\; t_4=0,8,\; u_4=8,218091
  • k=5:\; t_5=1,0,\; u_5=8,403791
(Se precisar em prova, apresente exatamente esses números na tabela; mostrei como obtê-los passo a passo.)

Passo 4

Parte (b): caso \displaystyle u(0)=4. Objetivo: tempo em que \displaystyle u(t) duplica até \displaystyle 8, usando o mesmo método de Heun e \displaystyle h=0,2.
Aplicação passo a passo (mostro os passos até ultrapassar 8):
  • k=0: \displaystyle t_0=0,\; u_0=4.
    • \displaystyle f(u_0)=4(10-4)=24.
    • \displaystyle \tilde u = 4 +0,2\cdot 24 = 8,8.
    • \displaystyle f(\tilde u)=8,8(10-8,8)=8,8\cdot 1,2 = 10,56.
    • \displaystyle u_1 = 4 + 0,1\cdot(24 + 10,56) = 7,456000 (em t_1=0,2).
  • k=1: \displaystyle t_1=0,2,\; u_1=7,456000.
    • \displaystyle f(u_1)=7,456(10-7,456)=7,456\cdot 2,544 \approx 18,967.
    • \displaystyle \tilde u \approx 7,456 + 0,2\cdot 18,967 = 11,2494.
    • \displaystyle f(\tilde u)\approx -14,0618.
    • \displaystyle u_2 \approx 7,456 + 0,1\cdot(18,967 -14,0618) \approx 7,946520 (em t_2=0,4).
  • k=2: \displaystyle t_2=0,4,\; u_2\approx 7,946520.
    • \displaystyle f(u_2)\approx 16,318019.
    • \displaystyle \tilde u \approx 7,946520 + 0,2\cdot 16,318019 \approx 11,210124.
    • \displaystyle f(\tilde u)\approx -13,56422.
    • \displaystyle u_3 \approx 7,946520 + 0,1\cdot(16,318019 -13,56422) \approx 8,221900 (em t_3=0,6).
  • Observação: \displaystyle u_2<8 e \displaystyle u_3>8. Então a duplicação ocorre entre t_2=0,4 e t_3=0,6.
Interpolação linear (prática útil na prova para achar tempo aproximado de cruzamento):
  • Supondo crescimento aproximadamente linear entre (t_2,u_2) e (t_3,u_3), o tempo em que \displaystyle u=8 é t \approx t_2 + \frac{8-u_2}{u_3-u_2}\,h.
  • Substituindo: \displaystyle u_2\approx 7,946520,\; u_3\approx 8,221900,\; h=0,2. t \approx 0,4 + \frac{8-7,946520}{8,221900-7,946520}\cdot 0,2 \approx 0,4 + 0,1942\cdot 0,2 \approx 0,43884.
  • Resultado aproximado: \displaystyle t \approx 0,4388 (arredondado).

Passo 5

Agora a parte dos problemas de valor inicial com o método de Euler. Primeiro uma pequena explicação do método (para a prova):
  • Método de Euler explícito: \displaystyle y_{n+1}=y_n + h\,f(t_n,y_n). É método de ordem 1 (erro global O(h)), simples de aplicar passo a passo.
  • Vou aplicar com \displaystyle h=0,2 (5 passos) e \displaystyle h=0,1 (10 passos). Em cada caso calculei iterativamente os valores y_n e depois o erro absoluto |E|=|y_{\text{num}}(1)-y_{\text{exata}}(1)|. As soluções exatas em t=1 são:
    • (a) \displaystyle y(1)=1-\mathrm{e}^{-1}\approx 0,6321205588.
    • (b) \displaystyle y(1)=\dfrac{4}{3}\mathrm{e}^{3}-\dfrac{4}{3}\approx 25,4473825643.
    • (c) \displaystyle y(1)=\mathrm{e}^{-1/2}\approx 0,6065306597.
Vou mostrar as iterações essenciais e os resultados finais.

Passo 6

Problema 2 (a): \displaystyle y'=t^{2}-y,\; y(0)=1.
  • Caso \displaystyle h=0,2 (5 passos):
    • t_0=0,\; y_0=1.
    • f_0=0^{2}-1=-1\Rightarrow y_1=1+0,2(-1)=0,8.
    • t_1=0,2:\; f_1=0,04-0,8=-0,76\Rightarrow y_2=0,8+0,2(-0,76)=0,648.
    • t_2=0,4:\; f_2=0,16-0,648=-0,488\Rightarrow y_3=0,648+0,2(-0,488)=0,5504.
    • t_3=0,6:\; f_3=0,36-0,5504=-0,1904\Rightarrow y_4=0,5504+0,2(-0,1904)=0,51232.
    • t_4=0,8:\; f_4=0,64-0,51232=0,12768\Rightarrow y_5=0,51232+0,2(0,12768)=0,537856.
    • Aproximação: \displaystyle y(1)\approx 0,537856.
    • Erro absoluto: \displaystyle |E|\approx |0,537856-0,6321205588| \approx 0,0942645588.
  • Caso \displaystyle h=0,1 (10 passos):
    • Iterando (mostrei os passos no rascunho), obtive \displaystyle y(1)\approx 0,586189404.
    • Erro absoluto: \displaystyle |E|\approx |0,586189404-0,6321205588| \approx 0,0459311548.

Passo 7

Problema 2 (b): \displaystyle y'=3y+3t,\; y(0)=1.
  • Solução exata em t=1: \displaystyle y(1)\approx 25,4473825643.
  • Caso \displaystyle h=0,2:
    • y_0=1.
    • f_0=3\Rightarrow y_1=1+0,2\cdot 3=1,6.
    • f_1=3\cdot 1,6+0,6=5,4\Rightarrow y_2=1,6+0,2\cdot 5,4=2,68.
    • f_2=3\cdot 2,68+1,2=9,24\Rightarrow y_3=2,68+0,2\cdot 9,24=4,528.
    • f_3=3\cdot 4,528+1,8=15,384\Rightarrow y_4=4,528+0,2\cdot 15,384=7,6048.
    • f_4=3\cdot 7,6048+2,4=25,2144\Rightarrow y_5=7,6048+0,2\cdot 25,2144=12,64768.
    • Aproximação: \displaystyle y(1)\approx 12,64768.
    • Erro absoluto: \displaystyle |E|\approx |12,64768-25,4473825643|\approx 12,7997025643.
  • Caso \displaystyle h=0,1:
    • Iterando, obtive \displaystyle y(1)\approx 17,0477989132.
    • Erro absoluto: \displaystyle |E|\approx |17,0477989132-25,4473825643|\approx 8,3995836511.

Passo 8

Problema 2 (c): \displaystyle y'=-t y,\; y(0)=1.
  • Solução exata em t=1: \displaystyle y(1)=\mathrm{e}^{-1/2}\approx 0,6065306597.
  • Caso \displaystyle h=0,2:
    • y_0=1.
    • t_0=0:\; f_0=0\Rightarrow y_1=1.
    • t_1=0,2:\; f_1=-0,2\cdot 1=-0,2\Rightarrow y_2=1+0,2(-0,2)=0,96.
    • t_2=0,4:\; f_2=-0,4\cdot 0,96=-0,384\Rightarrow y_3=0,96+0,2(-0,384)=0,8832.
    • t_3=0,6:\; f_3=-0,6\cdot 0,8832=-0,52992\Rightarrow y_4=0,8832+0,2(-0,52992)=0,777216.
    • t_4=0,8:\; f_4=-0,8\cdot 0,777216=-0,6217728\Rightarrow y_5=0,777216+0,2(-0,6217728)=0,65286144.
    • Aproximação: \displaystyle y(1)\approx 0,65286144.
    • Erro absoluto: \displaystyle |E|\approx |0,65286144-0,6065306597|\approx 0,0463307803.
  • Caso \displaystyle h=0,1:
    • Iterando, obtive \displaystyle y(1)\approx 0,6281565096.
    • Erro absoluto: \displaystyle |E|\approx |0,6281565096-0,6065306597|\approx 0,0216258499.

Resposta

a) Tabela com \displaystyle t_k e \displaystyle u_k (Heun, h=0,2):
\displaystyle k=0:\; t_0=0,\; u_0=1,000000
\displaystyle k=1:\; t_1=0,2,\; u_1=3,916000
\displaystyle k=2:\; t_2=0,4,\; u_2=7,443527
\displaystyle k=3:\; t_3=0,6,\; u_3=7,940991
\displaystyle k=4:\; t_4=0,8,\; u_4=8,218091
\displaystyle k=5:\; t_5=1,0,\; u_5=8,403791
b) Tempo para duplicar ( u(0)=4, Heun, interpolado): \displaystyle t\approx 0,4388
Problemas de valor inicial (Euler explícito):
2(a) \displaystyle y'=t^{2}-y,\; y(0)=1
\displaystyle h=0,2:\; y(1)\approx 0,537856,\; |E|\approx 0,094265
\displaystyle h=0,1:\; y(1)\approx 0,586189404,\; |E|\approx 0,045931155
2(b) \displaystyle y'=3y+3t,\; y(0)=1
\displaystyle h=0,2:\; y(1)\approx 12,64768,\; |E|\approx 12,799703
\displaystyle h=0,1:\; y(1)\approx 17,047798913,\; |E|\approx 8,399584
2(c) \displaystyle y'=-t y,\; y(0)=1
\displaystyle h=0,2:\; y(1)\approx 0,65286144,\; |E|\approx 0,046331
\displaystyle h=0,1:\; y(1)\approx 0,6281565096,\; |E|\approx 0,02162585

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