Considere o seguinte modelo para o crescimento de uma colônia de bactérias, baseado na equação logística:
onde
indica a densidade de bactérias em unidades arbitrárias na colônia e
e
são constantes positivas. Pergunta-se:
a) Se
e
, use um método numérico de
ordem para obter aproximação para
de
a
e 5 intervalos.
0
1
□
□
2
□
□
3
□
□
4
□
□
5
□
□
b) Se
e
, use um método numérico de
ordem para obter o tempo necessário para que a população dobre.
□
Para os problemas de valor inicial abaixo, aproxime
pelo método de Euler, utilizando (i)
e (ii)
. Calcule o erro absoluto nas duas aproximações.
a)
e
Sol. analítica:
-
□ e
□
-
□ e
□
b)
e
Sol. analitica:
-
□ e
□
-
□ e
□
C)
e
Sol. analitica:
-
□ e
□
-
□ e
□
a) Se
|
|
|
|
| 0 | ||
| 1 | □ | □ |
| 2 | □ | □ |
| 3 | □ | □ |
| 4 | □ | □ |
| 5 | □ | □ |
a)
b)
C)
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado pede e os dados fornecidos (sem resolver nada ainda).
- Modelo da colónia:
. - Parte 1 (a): parâmetros
, , condição inicial . Pedem: usar um método numérico de 2ª ordem para aproximar de a com 5 intervalos (ou seja, passo ) e preencher a tabela com e para . - Parte 1 (b): mesmos parâmetros
, , condição inicial . Pedem: usar um método numérico de 2ª ordem para obter o tempo necessário para que a população dobre (isto é, o tempo em que ). - Parte 2: Três problemas de valor inicial, pedir aproximar
pelo método de Euler (método explícito de 1ª ordem) usando (i) e (ii) . Em cada caso calcular o erro absoluto comparando com a solução analítica dada. - (a)
. Solução analítica: . - (b)
. Solução analítica: . - (c)
. Solução analítica: .
- (a)
Passo 2
Escolha do método para a parte logística e explicação didática do método (aula rápida e aplicável na prova).
- Como o enunciado pede “um método numérico de 2ª ordem”, vou usar o método de Heun (também chamado de Euler melhorado ou método do trapézio explícito), que é simples, de segunda ordem e fácil de aplicar manualmente sem calculadora complexa.
- Fórmulas do método de Heun (passo de tamanho
): - função do lado direito:
. No nosso caso e , logo . - predictor (Euler explícito):
. - corrector (média dos declives):
.
- função do lado direito:
- Por que isso é 2ª ordem? Intuitivamente, porque usamos não só o declive no início do intervalo (
) mas também uma estimativa do declive no fim do intervalo ( ) e fazemos a média; isso reduz o erro local ao nível e o erro global a . - Vou aplicar passo a passo com
(pois 5 intervalos em dá ). Em cada passo mostro , , , , e . Usei aritmética cuidadosa e arredondei os resultados finais dos a 6 casas decimais para responder na tabela.
Aplicação do método para o caso (a) com
,
,
.
- Passo
: . -
. -
. -
. -
.
-
- Passo
: . -
. -
. -
. -
.
-
- Passo
: . -
. -
. -
. -
.
-
- Passo
: . -
(aprox.). -
. -
. -
.
-
- Passo
: . -
. -
. -
. -
.
-
- Os valores finais foram arredondados a 6 casas para preencher a tabela (apresentei os intermediários para que aprenda a reproduzir na prova).
Passo 3
Resumo em forma de tabela (valores usados na parte (a), arredondados a 6 casas decimais). Em cada linha está
e
.
(Se precisar em prova, apresente exatamente esses números na tabela; mostrei como obtê-los passo a passo.)
Passo 4
Parte (b): caso
. Objetivo: tempo em que
duplica até
, usando o mesmo método de Heun e
.
Aplicação passo a passo (mostro os passos até ultrapassar 8):
-
: . -
. -
. -
. -
(em ).
-
-
: . -
. -
. -
. -
(em ).
-
-
: . -
. -
. -
. -
(em ).
-
- Observação:
e . Então a duplicação ocorre entre e .
Interpolação linear (prática útil na prova para achar tempo aproximado de cruzamento):
- Supondo crescimento aproximadamente linear entre
e , o tempo em que é - Substituindo:
. - Resultado aproximado:
(arredondado).
Passo 5
Agora a parte dos problemas de valor inicial com o método de Euler. Primeiro uma pequena explicação do método (para a prova):
- Método de Euler explícito:
. É método de ordem 1 (erro global ), simples de aplicar passo a passo. - Vou aplicar com
(5 passos) e (10 passos). Em cada caso calculei iterativamente os valores e depois o erro absoluto . As soluções exatas em são: - (a)
. - (b)
. - (c)
.
- (a)
Vou mostrar as iterações essenciais e os resultados finais.
Passo 6
Problema 2 (a):
.
- Caso
(5 passos): -
. -
. -
. -
. -
. -
. - Aproximação:
. - Erro absoluto:
.
-
- Caso
(10 passos): - Iterando (mostrei os passos no rascunho), obtive
. - Erro absoluto:
.
- Iterando (mostrei os passos no rascunho), obtive
Passo 7
Problema 2 (b):
.
- Solução exata em
: . - Caso
: -
. -
. -
. -
. -
. -
. - Aproximação:
. - Erro absoluto:
.
-
- Caso
: - Iterando, obtive
. - Erro absoluto:
.
- Iterando, obtive
Passo 8
Problema 2 (c):
.
- Solução exata em
: . - Caso
: -
. -
. -
. -
. -
. -
. - Aproximação:
. - Erro absoluto:
.
-
- Caso
: - Iterando, obtive
. - Erro absoluto:
.
- Iterando, obtive
Resposta
a) Tabela com
e
(Heun,
):
b) Tempo para duplicar (
, Heun, interpolado):
Problemas de valor inicial (Euler explícito):
2(a)
2(b)
2(c)