(Peru) O valor da expressão \left|7\left(\frac{1-i \sqrt{7}}{2}\right)^{6}+5\left(\frac{1+i \sqrt{7}}{2}\right)^{7}\right|, onde
i^{2}=-1 é igual a:
A) 0
B) 1
C) \sqrt{2}
D) \sqrt{5}
E) \sqrt{7}

Passo 1

O enunciado pede o valor da expressão
\left|7\left(\frac{1-i \sqrt{7}}{2}\right)^{6}+5\left(\frac{1+i \sqrt{7}}{2}\right)^{7}\right|
onde i^{2}=-1. Vou listar as informações dadas:
  • Tem-se os dois complexos \dfrac{1-i\sqrt{7}}{2} e \dfrac{1+i\sqrt{7}}{2}.
  • A expressão envolve potências sexta e sétima desses complexos, multiplicadas por constantes e somadas, e depois toma-se o módulo absoluto.

Passo 2

Defino notação para facilitar: seja
\alpha=\frac{1+i\sqrt{7}}{2},\qquad \beta=\frac{1-i\sqrt{7}}{2}.
Observações imediatas:
  • \beta é o conjugado de \alpha.
  • Portanto \alpha+\beta=1 (soma das partes reais) e \alpha\beta=2 (produto: calcule \frac{(1+i\sqrt7)(1-i\sqrt7)}{4}=\frac{1+7}{4}=2).

Passo 3

A chave é notar que \alpha e \beta são raízes do polinômio de segundo grau obtido a partir da equação que leva a 2\alpha-1=\pm i\sqrt7. Uma forma direta:
2\alpha=1+i\sqrt7\implies (2\alpha-1)^2=(i\sqrt7)^2=-7.
Desenvolvendo:
4\alpha^2-4\alpha+1=-7\quad\Rightarrow\quad 4\alpha^2-4\alpha+8=0,
dividindo por 4:
\alpha^2-\alpha+2=0.
Logo \alpha satisfaz
\alpha^2=\alpha-2.
O mesmo vale para \beta. A partir disso obtemos uma recorrência útil para potências:
z^{n+2}=z^{n+1}-2z^{n}\quad\text{para }z=\alpha\text{ ou }z=\beta.

Passo 4

Vou calcular as potências de \alpha passo a passo usando \alpha^2=\alpha-2.
  • \displaystyle \alpha^2=\alpha-2.
  • \displaystyle \alpha^3=\alpha\cdot\alpha^2=\alpha(\alpha-2)=\alpha^2-2\alpha=(\alpha-2)-2\alpha=-\alpha-2.
  • \displaystyle \alpha^4=\alpha\cdot\alpha^3=\alpha(-\alpha-2)=-\alpha^2-2\alpha=-(\alpha-2)-2\alpha=-3\alpha+2.
  • \displaystyle \alpha^5=\alpha\cdot\alpha^4=\alpha(-3\alpha+2)=-3\alpha^2+2\alpha=-3(\alpha-2)+2\alpha=-3\alpha+6+2\alpha=-\alpha+6.
  • \displaystyle \alpha^6=\alpha\cdot\alpha^5=\alpha(-\alpha+6)=-\alpha^2+6\alpha=-(\alpha-2)+6\alpha=-\alpha+2+6\alpha=5\alpha+2.
  • \displaystyle \alpha^7=\alpha\cdot\alpha^6=\alpha(5\alpha+2)=5\alpha^2+2\alpha=5(\alpha-2)+2\alpha=5\alpha-10+2\alpha=7\alpha-10.
Portanto obtenho a forma reduzida
\alpha^7=7\alpha-10,\qquad \alpha^6=5\alpha+2.

Passo 5

Como \beta satisfaz a mesma relação \beta^2=\beta-2, os mesmos cálculos aplicam-se a \beta com os mesmos coeficientes (troca de \alpha por \beta). Assim
\beta^6=5\beta+2.

Passo 6

Agora substituo na expressão original (lembre que a expressão é |\,7\beta^{6}+5\alpha^{7}|):
7\beta^{6}+5\alpha^{7}=7(5\beta+2)+5(7\alpha-10).
Calculo passo a passo:
7(5\beta+2)=35\beta+14,
5(7\alpha-10)=35\alpha-50.
Somando:
35\beta+14+35\alpha-50=35(\alpha+\beta)-36.
Usando \alpha+\beta=1:
35(\alpha+\beta)-36=35\cdot1-36=-1.
Portanto o número dentro do módulo é -1, que é real. Finalmente:
\left|7\beta^{6}+5\alpha^{7}\right|=|-1|=1.

Resposta

B) 1

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