(Peru) O valor da expressão \left|7\left(\frac{1-i \sqrt{7}}{2}\right)^{6}+5\left(\frac{1+i \sqrt{7}}{2}\right)^{7}\right|, onde i^{2}=-1 é igual a:
A) 0
B) 1
C) \sqrt{2}
D) \sqrt{5}
E) \sqrt{7}
Portanto \alpha+\beta=1 (soma das partes reais) e \alpha\beta=2 (produto: calcule \frac{(1+i\sqrt7)(1-i\sqrt7)}{4}=\frac{1+7}{4}=2).
Passo 3
A chave é notar que \alpha e \beta são raízes do polinômio de segundo grau obtido a partir da equação que leva a 2\alpha-1=\pm i\sqrt7. Uma forma direta:
Como \beta satisfaz a mesma relação \beta^2=\beta-2, os mesmos cálculos aplicam-se a \beta com os mesmos coeficientes (troca de \alpha por \beta). Assim
\beta^6=5\beta+2.
Passo 6
Agora substituo na expressão original (lembre que a expressão é |\,7\beta^{6}+5\alpha^{7}|):
7\beta^{6}+5\alpha^{7}=7(5\beta+2)+5(7\alpha-10).
Calculo passo a passo:
7(5\beta+2)=35\beta+14,
5(7\alpha-10)=35\alpha-50.
Somando:
35\beta+14+35\alpha-50=35(\alpha+\beta)-36.
Usando \alpha+\beta=1:
35(\alpha+\beta)-36=35\cdot1-36=-1.
Portanto o número dentro do módulo é -1, que é real. Finalmente: