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Usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem, resolva a seguinte equação diferencial
\frac{d y}{d x}=-1.3 y+8 e^{-0.3 x}
de a=0.0 até b=2.5 com um passo h=0.5 e condição inicial y=5 em x=0.
Escreva o valor de y_{k} em x_{k}=2.5 com 4 casa decimais:
y(2.5)=

Passo 1

O enunciado pede que se resolva numericamente a ODE inicial
\frac{dy}{dx}=-1,3\,y+8\,e^{-0,3x},
no intervalo de a=0,0 até b=2,5 com passo h=0,5 e condição inicial y(0)=5. A meta é encontrar o valor aproximado de y em x=2,5, isto é y(2,5), com quatro casas decimais.
Dados importantes extraídos do enunciado:
  • y(0)=5.
  • Passo \,h=0,5.
  • Intervalo: x_0=0,0 até x_5=2,5 (pois (2,5-0,0)/0,5=5 passos).
  • Função do lado direito (definida para uso no método): f(x,y)=-1,3\,y+8\,e^{-0,3x}.

Passo 2

Explicação do método Runge–Kutta de quarta ordem (RK4) — a “aula” que facilita usar o método na prova.
  • Ideia: a cada passo [x_k,x_{k+1}] com x_{k+1}=x_k+h o RK4 avalia a derivada f(x,y) em quatro pontos (quatro “tangentes” aproximadas), combina essas avaliações com pesos e obtém uma estimativa de y_{k+1} com erro local de ordem O(h^5) (portanto alta acurácia para passos razoáveis).
  • Fórmulas usadas (para cada passo k):
\begin{aligned} k_1&=h\,f(x_k,y_k),\\[4pt] k_2&=h\,f\!\left(x_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{k_1}{2}\right),\\[4pt] k_3&=h\,f\!\left(x_k+\tfrac{h}{2},\,y_k+\tfrac{k_2}{2}\right),\\[4pt] k_4&=h\,f\!\left(x_k+h,\,y_k+k_3\right),\\[4pt] y_{k+1}&=y_k+\dfrac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6}. \end{aligned}
  • Explicação das variáveis:
    • x_k e y_k são, respectivamente, a abscissa e a estimativa da solução no passo k.
    • h é o tamanho do passo.
    • Cada k_i é uma estimativa incremental (proporcional a h) baseada em uma avaliação de f.
    • A combinação \dfrac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6} dá uma média ponderada das inclinações usadas para atualizar y.
Agora aplicamos essas fórmulas passo a passo. Toda conta numérica é mostrada de forma detalhada.]

Passo 3

Preparação inicial:
x_0=0,0,\qquad y_0=5,00,\qquad h=0,5.
Definimos f(x,y)=-1,3\,y+8\,e^{-0,3x}.
Passo k=0 ( x_0=0,0\to x_1=0,5):
Calculemos as exponenciais necessárias:
e^{-0,3\cdot 0,0}=e^{0}=1, \qquad e^{-0,3\cdot 0,25}=e^{-0,075}\approx0,9277434863,\qquad e^{-0,3\cdot 0,5}=e^{-0,15}\approx0,8607079764.
Agora os k's:
\begin{aligned} k_1&=h\,f(0,0,\,5,00)=0,5\big(-1,3\cdot5,00+8\cdot1\big) =0,5( -6,50+8,00)=0,5(1,50)=0,75,\\[4pt] k_2&=0,5\,f\!\left(0,25,\,5,00+\tfrac{0,75}{2}\right)=0,5\,f(0,25,\,5,375)\\\ &=0,5\big(-1,3\cdot5,375+8\cdot e^{-0,075}\big)\\\ &\approx0,5\big(-6,9875+8\cdot0,9277434863\big) \approx0,5(0,4344478904)=0,2172239452,\\[4pt] k_3&=0,5\,f\!\left(0,25,\,5,00+\tfrac{0,2172239452}{2}\right) =0,5\,f(0,25,\,5,1086119726)\\\ &\approx0,5\big(-1,3\cdot5,1086119726+8\cdot0,9277434863\big)\\\ &\approx0,5(0,7807523260)=0,3903761630,\\[4pt] k_4&=0,5\,f(0,5,\,5,00+0,3903761630)=0,5\,f(0,5,\,5,3903761630)\\\ &\approx0,5\big(-1,3\cdot5,3903761630+8\cdot0,8607079764\big)\\\ &\approx0,5(-0,1218241888)=-0,0609120944. \end{aligned}
Combinação para y_1:
y_1=5,00+\frac{0,75+2(0,2172239452)+2(0,3903761630)-0,0609120944}{6} \approx5,3173813537.]

Passo 4

Passo k=1 ( x_1=0,5\to x_2=1,0) com y_1\approx5,3173813537.
Exponenciais úteis:
e^{-0,3\cdot0,5}=e^{-0,15}\approx0,8607079764,\qquad e^{-0,3\cdot0,75}=e^{-0,225}\approx0,7985076959,\qquad e^{-0,3\cdot1,0}=e^{-0,3}\approx0,7408182207.
Cálculos:
\begin{aligned} k_1&=0,5\big(-1,3\cdot5,3173813537+8\cdot0,8607079764\big)\approx-0,0134659743,\\[4pt] k_2&=0,5\,f(0,75,\,5,3106483665)\approx-0,2578911542,\\[4pt] k_3&=0,5\,f(0,75,\,5,1884357766)\approx-0,1784524708,\\[4pt] k_4&=0,5\,f(1,0,\,5,1389288829)\approx-0,3770308911. \end{aligned}
Combinação:
y_2\approx5,3173813537+\frac{-0,0134659743+2(-0,2578911542)+2(-0,1784524708)-0,3770308911}{6} \approx5,1068506678.]

Passo 5

Passo k=2 ( x_2=1,0\to x_3=1,5) com y_2\approx5,1068506678.
Exponenciais:
e^{-0,3\cdot1,0}=e^{-0,3}\approx0,7408182207,\quad e^{-0,3\cdot1,25}=e^{-0,375}\approx0,6872892788,\quad e^{-0,3\cdot1,5}=e^{-0,45}\approx0,6376281516.
Cálculos:
\begin{aligned} k_1&=0,5\big(-1,3\cdot5,1068506678+8\cdot0,7408182207\big)\approx-0,3566800513,\\[4pt] k_2&=0,5\,f(1,25,\,4,9285106421)\approx-0,4543748022,\\[4pt] k_3&=0,5\,f(1,25,\,4,8796632667)\approx-0,4226240081,\\[4pt] k_4&=0,5\,f(1,5,\,4,6842266596)\approx-0,4942347224. \end{aligned}
Combinação:
y_3\approx5,1068506678+\frac{-0,3566800513+2(-0,4543748022)+2(-0,4226240081)-0,4942347224}{6} \approx4,6726986021.]

Passo 6

Passo k=3 ( x_3=1,5\to x_4=2,0) com y_3\approx4,6726986021.
Exponenciais:
e^{-0,3\cdot1,5}=e^{-0,45}\approx0,6376281516,\quad e^{-0,3\cdot1,75}=e^{-0,525}\approx0,591555, \quad e^{-0,3\cdot2,0}=e^{-0,6}\approx0,5488116361.
(Valores de e^{-0,525} foram avaliados numericamente.)
Cálculos:
\begin{aligned} k_1&=0,5\big(-1,3\cdot4,6726986021+8\cdot0,6376281516\big)\approx-0,4867414849,\\[4pt] k_2&=0,5\,f(1,75,\,4,4293278596)\approx-0,5128431087,\\[4pt] k_3&=0,5\,f(1,75,\,4,4162770477)\approx-0,5043600810,\\[4pt] k_4&=0,5\,f(2,0,\,4,1683385211)\approx-0,5141729943. \end{aligned}
Combinação:
y_4\approx4,6726986021+\frac{-0,4867414849+2(-0,5128431087)+2(-0,5043600810)-0,5141729943}{6} \approx4,1668117923.]

Passo 7

Passo k=4 ( x_4=2,0\to x_5=2,5) com y_4\approx4,1668117923.
Exponenciais:
e^{-0,3\cdot2,0}=e^{-0,6}\approx0,5488116361,\quad e^{-0,3\cdot2,25}=e^{-0,675}\approx0,509286\\ (\text{aprox.}),\quad e^{-0,3\cdot2,5}=e^{-0,75}\approx0,4723665527.
Cálculos:
\begin{aligned} k_1&=0,5\big(-1,3\cdot4,1668117923+8\cdot0,5488116361\big)\approx-0,5131811206,\\[4pt] k_2&=0,5\,f(2,25,\,3,9102212310)\approx-0,5062478008,\\[4pt] k_3&=0,5\,f(2,25,\,3,9136878919)\approx-0,5085011297,\\[4pt] k_4&=0,5\,f(2,5,\,3,6583106626)\approx-0,4884357197. \end{aligned}
Combinação final:
y_5\approx4,1668117923+\frac{-0,5131811206+2(-0,5062478008)+2(-0,5085011297)-0,4884357197}{6} \approx3,6616260087.
(Vale notar: a equação linear dada admite solução explícita y(x)=8e^{-0,3x}-3e^{-1,3x}. Avaliando essa solução em x=2,5 obtém-se aproximadamente 3,6626097984. O resultado do RK4 com h=0,5 está muito próximo desse valor, mostrando que os cálculos estão consistentes.)]

Resposta

y(2,5)=3,6616

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