Questão 10 Ainda não respondida Vale 9 ponto(s). □ Marcar questão
Usando o método de Runge-Kutta de quarta ordem, resolva a seguinte equação diferencial
de
até
com um passo
e condição inicial
em
.
Escreva o valor de
em
com 4 casa decimais:
□
Escreva o valor de
Passo 1
O enunciado pede que se resolva numericamente a ODE inicial
no intervalo de
até
com passo
e condição inicial
. A meta é encontrar o valor aproximado de
em
, isto é
, com quatro casas decimais.
Dados importantes extraídos do enunciado:
-
. - Passo
. - Intervalo:
até (pois passos). - Função do lado direito (definida para uso no método):
.
Passo 2
Explicação do método Runge–Kutta de quarta ordem (RK4) — a “aula” que facilita usar o método na prova.
-
Ideia: a cada passo
com o RK4 avalia a derivada em quatro pontos (quatro “tangentes” aproximadas), combina essas avaliações com pesos e obtém uma estimativa de com erro local de ordem (portanto alta acurácia para passos razoáveis). -
Fórmulas usadas (para cada passo
):
- Explicação das variáveis:
-
e são, respectivamente, a abscissa e a estimativa da solução no passo . -
é o tamanho do passo. - Cada
é uma estimativa incremental (proporcional a ) baseada em uma avaliação de . - A combinação
dá uma média ponderada das inclinações usadas para atualizar .
-
Agora aplicamos essas fórmulas passo a passo. Toda conta numérica é mostrada de forma detalhada.]
Passo 3
Preparação inicial:
Definimos
.
Passo
(
):
Calculemos as exponenciais necessárias:
Agora os
's:
Combinação para
:
Passo 4
Passo
(
) com
.
Exponenciais úteis:
Cálculos:
Combinação:
Passo 5
Passo
(
) com
.
Exponenciais:
Cálculos:
Combinação:
Passo 6
Passo
(
) com
.
Exponenciais:
(Valores de
foram avaliados numericamente.)
Cálculos:
Combinação:
Passo 7
Passo
(
) com
.
Exponenciais:
Cálculos:
Combinação final:
(Vale notar: a equação linear dada admite solução explícita
. Avaliando essa solução em
obtém-se aproximadamente
. O resultado do RK4 com
está muito próximo desse valor, mostrando que os cálculos estão consistentes.)]