Considere o seguinte problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=x y-y^{2}+2.3 \\\ y(0)=1.1 \end{array}\right.
Usando h=\mathbf{0 . 1}, encontre uma aproximação para y(\mathbf{1}) :
Usando um método de Runge-Kutta de ordem 4.

Passo 1

O enunciado pede: aproximar o valor de y(1) para o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=x y-y^{2}+2,3,\\[4pt] y(0)=1,1 \end{array}\right.
usando passo \,h=0,1 e o método de Runge–Kutta de ordem 4.
Informações relevantes dadas:
  • equação diferencial: y'=f(x,y) com f(x,y)=xy-y^{2}+2,3;
  • condição inicial: x_{0}=0, y_{0}=1,1;
  • passo: h=0,1;
  • queremos uma aproximação de y(1), ou seja, após N=\dfrac{1-0}{0,1}=10 passos.]

Passo 2

Apresentação do método (aula curta e prática). O método de Runge–Kutta de 4ª ordem para avançar de (x_{n},y_{n}) a (x_{n+1},y_{n+1}) com passo h usa as fórmulas:
\begin{aligned} k_{1}&=f(x_{n},y_{n}),\\[4pt] k_{2}&=f\!\Bigl(x_{n}+\frac{h}{2},\,y_{n}+\frac{h}{2}k_{1}\Bigr),\\[4pt] k_{3}&=f\!\Bigl(x_{n}+\frac{h}{2},\,y_{n}+\frac{h}{2}k_{2}\Bigr),\\[4pt] k_{4}&=f(x_{n}+h,\,y_{n}+h k_{3}), \end{aligned}
e a atualização é
\boxed{\,y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{6}\bigl(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\bigr)\,.}
Explicando cada coisa: k_{1} é a inclinação no início do intervalo; k_{2} e k_{3} são inclinações “no meio” usando correções parciais; k_{4} é a inclinação no final do intervalo. O peso 1,\,2,\,2,\,1 e o fator h/6 dão ordem 4 (erro local pequeno). Vamos aplicar isso passo a passo do x_{0}=0 até x_{10}=1. Em todas as contas eu mostro os k's e o novo y.]

Passo 3

Definimos a função f explicitamente (vai aparecer em todas as contas):
f(x,y)=x\,y-y^{2}+2,3.
Começamos com x_{0}=0 e y_{0}=1,1. Vamos numerar os pontos: x_{n}=0,0,1,\;0,2,\; \dots,\;1,0 (ou seja x_{n}=0,1\cdot 0,1,\;0,2,\dots,1,0 mas em notação decimal: 0,0;\;0,1;\;0,2;\dots;\;1,0). Agora calculamos os 10 passos com h=0,1.

Passo 4

Passo de x_{0}=0,0 para x_{1}=0,1.
\begin{aligned} k_{1}&=f(0,0,\,1,1)=0\cdot1,1-(1,1)^{2}+2,3=-1,21+2,3=1,09,\\[4pt] k_{2}&=f\!\Bigl(0,05,\,1,1+\tfrac{0,1}{2}\cdot1,09\Bigr)=f(0,05,\,1,1545)\\\ &=0,05\cdot1,1545-(1,1545)^{2}+2,3=0,057725-1,33287025+2,3\approx1,02485475,\\[4pt] k_{3}&=f\!\Bigl(0,05,\,1,1+\tfrac{0,1}{2}\cdot1,02485475\Bigr)=f(0,05,\,1,1512427375)\\\ &\approx0,05756214-1,32535984+2,3\approx1,03220230,\\[4pt] k_{4}&=f\bigl(0,1,\,1,1+0,1\cdot1,03220230\bigr)=f(0,1,\,1,20322023)\\\ &\approx0,12032202-1,44773891+2,3\approx0,97258311. \end{aligned}
Atualização:
y_{1}=1,1+\frac{0,1}{6}(1,09+2\cdot1,02485475+2\cdot1,03220230+0,97258311)\approx1,20294495.]

Passo 5

Passo de x_{1}=0,1 para x_{2}=0,2.
\begin{aligned} k_{1}&=f(0,1,\,1,20294495)\approx0,97321795,\\[4pt] k_{2}&=f\!\Bigl(0,15,\,1,20294495+\tfrac{0,1}{2}\cdot0,97321795\Bigr)=f(0,15,\,1,25160585)\approx0,92122368,\\[4pt] k_{3}&=f(0,15,\,1,20294495+\tfrac{0,1}{2}\cdot0,92122368)=f(0,15,\,1,24900613)\approx0,92733460,\\[4pt] k_{4}&=f(0,2,\,1,20294495+0,1\cdot0,92733460)=f(0,2,\,1,29567841)\approx0,88035314. \end{aligned}
Atualização:
y_{2}=1,20294495+\frac{0,1}{6}(0,97321795+2\cdot0,92122368+2\cdot0,92733460+0,88035314)\approx1,29545641.]

Passo 6

Passo de x_{2}=0,2 para x_{3}=0,3.
\begin{aligned} k_{1}&=f(0,2,\,1,29545641)\approx0,88088373,\\[4pt] k_{2}&=f(0,25,\,1,29545641+0,05\cdot0,88088373)=f(0,25,\,1,33950060)\approx0,84061315,\\[4pt] k_{3}&=f(0,25,\,1,29545641+0,05\cdot0,84061315)=f(0,25,\,1,33748707)\approx0,84550017,\\[4pt] k_{4}&=f(0,3,\,1,29545641+0,1\cdot0,84550017)=f(0,3,\,1,38000643)\approx0,80958419. \end{aligned}
Atualização:
y_{3}=1,29545641+\frac{0,1}{6}(\dots)\approx1,37983465.]

Passo 7

Passo de x_{3}=0,3 para x_{4}=0,4.
\begin{aligned} k_{1}&=f(0,3,\,1,37983465)\approx0,81000666,\\[4pt] k_{2}&=f(0,35,\,1,37983465+0,05\cdot0,81000666)\approx f(0,35,\,1,42033498)\approx0,77976624,\\[4pt] k_{3}&=f(0,35,\,1,37983465+0,05\cdot0,77976624)\approx0,78353204,\\[4pt] k_{4}&=f(0,4,\,1,37983465+0,1\cdot0,78353204)\approx0,75696414. \end{aligned}
Atualização:
y_{4}=1,37983465+\frac{0,1}{6}(\dots)\approx1,45806077.]

Passo 8

Passo de x_{4}=0,4 para x_{5}=0,5.
\begin{aligned} k_{1}&=f(0,4,\,1,45806077)\approx0,75728331,\\[4pt] k_{2}&=f(0,45,\,1,49592494)\approx0,73537512,\\[4pt] k_{3}&=f(0,45,\,1,49482953)\approx0,73815729,\\[4pt] k_{4}&=f(0,5,\,1,53187650)\approx0,71929225. \end{aligned}
Atualização:
y_{5}=1,45806077+\frac{0,1}{6}(\dots)\approx1,53178811.]

Passo 9

Passo de x_{5}=0,5 para x_{6}=0,6.
\begin{aligned} k_{1}&=f(0,5,\,1,53178811)\approx0,71951706,\\[4pt] k_{2}&=f(0,55,\,1,56776396)\approx0,70438518,\\[4pt] k_{3}&=f(0,55,\,1,56700737)\approx0,70634205,\\[4pt] k_{4}&=f(0,6,\,1,60242232)\approx0,69369609. \end{aligned}
Atualização:
y_{6}=1,53178811+\frac{0,1}{6}(\dots)\approx1,60236590.]

Passo 10

Passo de x_{6}=0,6 para x_{7}=0,7.
\begin{aligned} k_{1}&=f(0,6,\,1,60236590)\approx0,69384284,\\[4pt] k_{2}&=f(0,65,\,1,63705804)\approx0,68431173,\\[4pt] k_{3}&=f(0,65,\,1,63658149)\approx0,68638097,\\[4pt] k_{4}&=f(0,7,\,1,67100399)\approx0,67744845. \end{aligned}
Atualização:
y_{7}=1,60236590+\frac{0,1}{6}(\dots)\approx1,67091052.]

Passo 11

Passo de x_{7}=0,7 para x_{8}=0,8.
\begin{aligned} k_{1}&=f(0,7,\,1,67091052)\approx0,67769536,\\[4pt] k_{2}&=f(0,75,\,1,70479529)\approx0,67225393,\\[4pt] k_{3}&=f(0,75,\,1,70452322)\approx0,67299341,\\[4pt] k_{4}&=f(0,8,\,1,73820986)\approx0,66919589. \end{aligned}
Atualização:
y_{8}=1,67091052+\frac{0,1}{6}(\dots)\approx1,73820028.]

Passo 12

Passo de x_{8}=0,8 para x_{9}=0,9.
\begin{aligned} k_{1}&=f(0,8,\,1,73820028)\approx0,66922152,\\[4pt] k_{2}&=f(0,85,\,1,77166136)\approx0,66713299,\\[4pt] k_{3}&=f(0,85,\,1,77155693)\approx0,66741373,\\[4pt] k_{4}&=f(0,9,\,1,80494165)\approx0,66663249. \end{aligned}
Atualização:
y_{9}=1,73820028+\frac{0,1}{6}(\dots)\approx1,80494940.]

Passo 13

Passo final de x_{9}=0,9 para x_{10}=1,0 (aqui calculamos y(1)).
\begin{aligned} k_{1}&=f(0,9,\,1,8049494047)\approx0,66661211,\\[6pt] k_{2}&=f\!\Bigl(0,95,\,1,8049494047+\tfrac{0,1}{2}\cdot0,66661211\Bigr) =f(0,95,\,1,83828001)\approx0,66709351,\\[6pt] k_{3}&=f\!\Bigl(0,95,\,1,8049494047+\tfrac{0,1}{2}\cdot0,66709351\Bigr) =f(0,95,\,1,83830408)\approx0,66702793,\\[6pt] k_{4}&=f(1,0,\,1,8049494047+0,1\cdot0,66702793) =f(1,0,\,1,8716521973)\approx0,66857229. \end{aligned}
Agora a atualização final:
\begin{aligned} y_{10}&=1,8049494047+\frac{0,1}{6}\bigl(0,66661211+2\cdot0,66709351+2\cdot0,66702793+0,66857229\bigr)\\[4pt] &\approx1,8049494047+0,0667237878\approx1,8716731925. \end{aligned}]

Resposta

y(1)\approx 1,87167319

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