Considere o seguinte problema de valor inicial:
Usando
, encontre uma aproximação para
:
Usando um método de Runge-Kutta de ordem 4.
Usando um método de Runge-Kutta de ordem 4.
Passo 1
O enunciado pede: aproximar o valor de
para o problema de valor inicial
usando passo
e o método de Runge–Kutta de ordem 4.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- equação diferencial:
com ; - condição inicial:
, ; - passo:
; - queremos uma aproximação de
, ou seja, após passos.]
Passo 2
Apresentação do método (aula curta e prática). O método de Runge–Kutta de 4ª ordem para avançar de
a
com passo
usa as fórmulas:
e a atualização é
Explicando cada coisa:
é a inclinação no início do intervalo;
e
são inclinações “no meio” usando correções parciais;
é a inclinação no final do intervalo. O peso
e o fator
dão ordem 4 (erro local pequeno). Vamos aplicar isso passo a passo do
até
. Em todas as contas eu mostro os
's e o novo
.]
Passo 3
Definimos a função
explicitamente (vai aparecer em todas as contas):
Começamos com
e
. Vamos numerar os pontos:
(ou seja
mas em notação decimal:
). Agora calculamos os 10 passos com
.
Passo 4
Passo de
para
.
Atualização:
Passo 5
Passo de
para
.
Atualização:
Passo 6
Passo de
para
.
Atualização:
Passo 7
Passo de
para
.
Atualização:
Passo 8
Passo de
para
.
Atualização:
Passo 9
Passo de
para
.
Atualização:
Passo 10
Passo de
para
.
Atualização:
Passo 11
Passo de
para
.
Atualização:
Passo 12
Passo de
para
.
Atualização:
Passo 13
Passo final de
para
(aqui calculamos
).
Agora a atualização final: