Considere o seguinte problema de valor inicial:
Usando
, encontre uma aproximação para
:
usando o método de Euler;
usando o método de Euler;
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
pede-se uma aproximação de
usando passo
pelo método de Euler. Informações relevantes que temos: o lado direito da EDO é
; o ponto inicial é
; com
iremos avançar 10 passos para ir de
até
(pois
).]
Passo 2
Explico o método de Euler (forward/explicit) de forma didática. Se tivermos uma EDO
e um ponto conhecido
, o método de Euler aproxima
no próximo ponto
por
Por que isso? Imagine a reta tangente à solução em
; a derivada
dá a inclinação dessa reta. Avançando uma pequena distância
ao longo do eixo
, a reta dá a aproximação linear
Aqui:
,
é a aproximação em
,
é o passo e
. Agora aplicamos isso iterativamente de
até
para obter
. Em cada passo vou calcular
e atualizar
. Vou mostrar as contas passo a passo e arredondar os resultados mostrando bastante casas decimais para você acompanhar.
Passo 3
Passo
(
,
):
Atualização pelo Euler:
Passo 4
Passo
(
,
):
Atualização:
Passo 5
Passo
(
,
):
Calculo do quadrado (mostrando a ideia de expansão):
Calculo do quadrado (mostrando a ideia de expansão):
Então
Atualização:
Passo 6
Passo
(
,
):
Atualização:
Passo 7
Passo
(
,
):
Atualização:
Para consistência com cálculos anteriores mantenho
.
Passo 8
Passo
(
,
):
Atualização:
Passo 9
Passo
(
,
):
Atualização:
Passo 10
Passo
(
,
):
Atualização:
Passo 11
Passo
(
,
):
Atualização:
Passo 12
Passo
(
,
):
Atualização (chegamos a
):
Passo 13
Resumo e observação final: após 10 passos de Euler com
obtemos a aproximação
para
. O método de Euler é simples e rápido, mas tem erro de ordem
(erro global proporcional a
), ou seja, se você reduzir
pela metade espera reduzir aproximadamente o erro pela metade. Mesmo assim, para uma prova e sem calculadora este procedimento passo-a-passo é o que normalmente se pede: calcular iterativamente
.