Ex1: Dado o sistema abaixo:
\left\{\begin{array}{c}0,32 x_{1}-0,12 x_{2}+0,22 x_{3}=3,55 \\\\ 2 x_{1}+0,23 x_{2}+5,35 x_{3}=-5,67 \\\ x_{1}-0,53 x_{2}-3,56 x_{3}=1,23\end{array}\right.
a) Resolva o sistema de equações lineares usando o o método de Decomposição LU. Utilize pivotamento e precisão de 3 casas decimais.
b) Calcule o resíduo do sistema de equações, com precisão de 5 casas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Resolver o sistema linear
\left\{\begin{array}{r} 0,32\,x_{1}-0,12\,x_{2}+0,22\,x_{3}=3,55,\\[4pt] 2\,x_{1}+0,23\,x_{2}+5,35\,x_{3}=-5,67,\\[4pt] x_{1}-0,53\,x_{2}-3,56\,x_{3}=1,23 \end{array}\right.
usando decomposição LU com pivotamento (pivotamento parcial) e precisão de 3 casas decimais durante o processo de fatoração/eliminação.
2. Calcular o resíduo r=b-Ax com precisão de 5 casas decimais, onde A é a matriz do sistema e b o vetor do lado direito.
Informações relevantes dadas:
A=\begin{pmatrix} 0,32 & -0,12 & 0,22\\[4pt] 2 & 0,23 & 5,35\\[4pt] 1 & -0,53 & -3,56 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}3,55\\[4pt]-5,67\\[4pt]1,23\end{pmatrix}.]

Passo 2

Breve explicação do método (didática):
  • A ideia da decomposição LU com pivotamento é escrever PA=LU, onde P é uma matriz de permutação (troca de linhas), L é triangular inferior com uns na diagonal e U é triangular superior. Com isso, para resolver Ax=b procedemos como:
    1. Encontrar P,L,U tal que PA=LU.
    2. Calcular Pb.
    3. Resolver Ly=Pb por substituição direta (forward substitution).
    4. Resolver Ux=y por substituição regressiva (back substitution).
  • Pivotamento parcial: em cada coluna k escolhemos, entre as linhas k,\dots,n, a linha com o maior valor absoluto na coluna k para ser o pivô, e trocamos linhas quando necessário. Isso evita divisões por pivôs muito pequenos e melhora estabilidade.
  • Regra de arredondamento pedida: durante a decomposição e eliminação, arredondar valores numéricos a 3 casas decimais. Nas etapas de forward/back substitution vou também apresentar com 3 casas.

Passo 3

Primeiro passo prático: coluna 1 — escolher pivô.
Valores absolutos na coluna 1: |0,32|=0,32, |2|=2, |1|=1. O maior é 2 (linha 2). Fazemos a troca de linhas 1\leftrightarrow2. Isso corresponde a aplicar permutação P inicial.
Após a troca (também permutando os correspondentes de b), a matriz estendida [A|b] fica:
\begin{array}{rcl} \text{linha 1:}&(2 & \;0,23\;\; 5,35)\;|\; -5,67,\\[4pt] \text{linha 2:}&(0,32 & -0,12\;\; 0,22)\;|\; 3,55,\\[4pt] \text{linha 3:}&(1 & -0,53\;\; -3,56)\;|\; 1,23. \end{array}]

Passo 4

Eliminação na coluna 1 (usar precisão de 3 casas nos multiplicadores):
  • Multiplicador para zerar a_{21}: l_{21}=\dfrac{0,32}{2}=0,16. Arredondando a 3 casas: l_{21}=0,160.
  • Multiplicador para zerar a_{31}: l_{31}=\dfrac{1}{2}=0,5. Arredondando a 3 casas: l_{31}=0,500.

Passo 5

Atualizar linhas 2 e 3 usando os multiplicadores e arredondando cada entrada resultante a 3 casas decimais.
Linha 2 := linha 2 - l_{21}\timeslinha 1:
  • nova a_{22}=-0,12-0,160\cdot0,23=-0,12-0,0368=-0,1568\Rightarrow -0,157 (3 decimais),
  • nova a_{23}=0,22-0,160\cdot5,35=0,22-0,856=-0,636\Rightarrow -0,636,
  • novo b_{2}=3,55-0,160\cdot(-5,67)=3,55+0,9072=4,4572\Rightarrow 4,457.
Linha 3 := linha 3 - l_{31}\timeslinha 1:
  • nova a_{32}=-0,53-0,500\cdot0,23=-0,53-0,115=-0,645\Rightarrow -0,645,
  • nova a_{33}=-3,56-0,500\cdot5,35=-3,56-2,675=-6,235\Rightarrow -6,235,
  • novo b_{3}=1,23-0,500\cdot(-5,67)=1,23+2,835=4,065\Rightarrow 4,065.
Após essa etapa (com zeros na coluna 1 abaixo do pivô), a matriz estendida (arredondada a 3 decimais) é:
\begin{array}{rcl} \text{linha 1:}&(2 & 0,23\;\; 5,35)\;|\; -5,67,\\[4pt] \text{linha 2:}&(0 & -0,157\;\; -0,636)\;|\; 4,457,\\[4pt] \text{linha 3:}&(0 & -0,645\;\; -6,235)\;|\; 4,065. \end{array}]

Passo 6

Segunda coluna — escolher pivô entre linhas 2 e 3 (coluna 2):
  • |-0,157|=0,157, |-0,645|=0,645. O maior é 0,645 (linha 3). Fazemos troca de linhas 2\leftrightarrow3.
Ao trocar linhas 2 e 3 nesta etapa devemos também trocar, para manter a forma correta de L, os multiplicadores já calculados na coluna 1 entre as linhas 2 e 3. Ou seja, os valores l_{21} e l_{31} trocam de posição no armazenamento de L. Depois da troca, a matriz estendida fica:
\begin{array}{rcl} \text{linha 1:}&(2 & 0,23\;\; 5,35)\;|\; -5,67,\\[4pt] \text{linha 2:}&(0 & -0,645\;\; -6,235)\;|\; 4,065,\\[4pt] \text{linha 3:}&(0 & -0,157\;\; -0,636)\;|\; 4,457. \end{array}
E os multiplicadores da coluna 1, após a troca, ficam:
L_{2,1}=0,500,\qquad L_{3,1}=0,160.]

Passo 7

Eliminação na coluna 2 (usar precisão de 3 casas):
  • Multiplicador para zerar a_{32}: l_{32}=\dfrac{-0,157}{-0,645}=0,243410\ldots\Rightarrow arredondando a 3 casas: l_{32}=0,243.
Atualizar linha 3 := linha 3 - l_{32}\timeslinha 2, arredondando resultados a 3 casas:
  • nova a_{33}=-0,636-0,243\cdot(-6,235)=-0,636+1,515105=0,879105\Rightarrow 0,879,
  • novo b_{3}=4,457-0,243\cdot4,065=4,457-0,987795=3,469205\Rightarrow 3,469.
Agora a matriz U (triangular superior) obtida, com entradas arredondadas a 3 casas, é:
U=\begin{pmatrix} 2 & 0,23 & 5,35\\[4pt] 0 & -0,645 & -6,235\\[4pt] 0 & 0 & 0,879 \end{pmatrix}.
E a matriz L (triangular inferior com 1’s na diagonal), construindo com os multiplicadores já obtidos e colocando 1 na diagonal, é (arredondada a 3 casas):
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0,500 & 1 & 0\\[4pt] 0,160 & 0,243 & 1 \end{pmatrix}.
A permutação P resultante (dois swaps: primeiro 1\leftrightarrow2, depois 2\leftrightarrow3) reordena as linhas originais na sequência (2,3,1). Em forma de vetor, Pb=(b_{2},b_{3},b_{1}).]

Passo 8

Resumo da fatoração (com 3 casas decimais):
P A = L U,\qquad L=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt]0,500 & 1 & 0\\[4pt]0,160 & 0,243 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}2 & 0,23 & 5,35\\[4pt]0 & -0,645 & -6,235\\[4pt]0 & 0 & 0,879\end{pmatrix}.
O vetor permutado Pb (aplicando a mesma permutação às entradas de b) é:
Pb=\begin{pmatrix}-5,67\\[4pt]1,23\\[4pt]3,55\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resolver [Ly=Pb) (forward substitution), com aritmética apresentada e arredondando resultados a 3 casas.
Sistema expandido:
\begin{cases} y_{1}=-5,67,\\[4pt] 0,500\,y_{1}+y_{2}=1,23,\\[4pt] 0,160\,y_{1}+0,243\,y_{2}+y_{3}=3,55. \end{cases}
Cálculo:
  • y_{1}=-5,67\]. - \(y_{2}=1,23-0,500\cdot(-5,67)=1,23+2,835=4,065\Rightarrow 4,065 (3 casas).
    - y_{3}=3,55-0,160\cdot(-5,67)-0,243\cdot4,065.
    Calcular passo a passo:
    0,160\cdot(-5,67)=-0,9072\Rightarrow subtrair dá 3,55+0,9072=4,4572.
    Depois 0,243\cdot4,065=0,987795. Então y_{3}=4,4572-0,987795=3,469405\Rightarrow 3,469 (3 casas).
Portanto
y=\begin{pmatrix}-5,67\\[4pt]4,065\\[4pt]3,469\end{pmatrix}.]

Passo 10

Resolver [Ux=y) (back substitution), com resultados arredondados a 3 casas.
Sistema Ux=y expandido:
\begin{cases} 2\,x_{1}+0,23\,x_{2}+5,35\,x_{3}=-5,67,\\[4pt] -0,645\,x_{2}-6,235\,x_{3}=4,065,\\[4pt] 0,879\,x_{3}=3,469. \end{cases}
Cálculos (detalhados):
  • x_{3}=\dfrac{3,469}{0,879}=3,94653\ldots\Rightarrow\] arredondando a 3 casas: \(x_{3}=3,947.
  • Usando linha 2: -0,645\,x_{2}-6,235\,x_{3}=4,065.
    Isolar x_{2}:
    0,645\,x_{2}=-4,065-6,235\cdot x_{3}.
    Substituindo x_{3}=3,947: 6,235\cdot3,947\approx24,60645.
    Então 0,645\,x_{2}=-4,065-24,60645=-28,67145.
    Logo x_{2}=\dfrac{-28,67145}{0,645}\approx -44,4707\Rightarrow arredondando a 3 casas: x_{2}=-44,471.
  • Usando linha 1 para x_{1}:
    2\,x_{1}=-5,67-0,23\,x_{2}-5,35\,x_{3}.
    Substituindo x_{2}=-44,471 e x_{3}=3,947:
    0,23\cdot(-44,471)=-10,22833,
    5,35\cdot3,947=21,11645.
    Soma no lado direito: -5,67-(-10,22833)-21,11645=-5,67+10,22833-21,11645=-16,55712.
    Então x_{1}=\dfrac{-16,55712}{2}=-8,27856\Rightarrow arredondando a 3 casas: x_{1}=-8,279.
Portanto a solução aproximada obtida (com 3 casas decimais) é
x\approx\begin{pmatrix}-8,279\\[4pt]-44,471\\[4pt]3,947\end{pmatrix}.]

Passo 11

Agora calculamos o resíduo r=b-Ax usando a matriz A original e o vetor solução x obtido (arredondado a 3 casas). O enunciado pede precisão de 5 casas decimais no resíduo, então apresento os componentes de r com 5 dígitos após a vírgula.
Calculemos Ax componente a componente (usando x_{1}=-8,279, x_{2}=-44,471, x_{3}=3,947):
  1. Componente 1:
(Ax)_{1}=0,32\cdot(-8,279)-0,12\cdot(-44,471)+0,22\cdot3,947.
Cálculo:
0,32\cdot(-8,279)=-2,64928,
-0,12\cdot(-44,471)=+5,33652,
0,22\cdot3,947=0,86834.
Somando: (Ax)_{1}=-2,64928+5,33652+0,86834=3,55558.
Resíduo: r_{1}=b_{1}-(Ax)_{1}=3,55-3,55558=-0,00558.
  1. Componente 2:
(Ax)_{2}=2\cdot(-8,279)+0,23\cdot(-44,471)+5,35\cdot3,947.
Cálculo:
2\cdot(-8,279)=-16,558,
0,23\cdot(-44,471)=-10,22833,
5,35\cdot3,947=21,11645.
Somando: (Ax)_{2}=-16,558-10,22833+21,11645=-5,66988.
Resíduo: r_{2}=b_{2}-(Ax)_{2}=-5,67-(-5,66988)=-0,00012.
  1. Componente 3:
(Ax)_{3}=1\cdot(-8,279)-0,53\cdot(-44,471)-3,56\cdot3,947.
Cálculo:
1\cdot(-8,279)=-8,279,
-0,53\cdot(-44,471)=+23,56963,
-3,56\cdot3,947=-14,05132.
Somando: (Ax)_{3}=-8,279+23,56963-14,05132=1,23931.
Resíduo: r_{3}=b_{3}-(Ax)_{3}=1,23-1,23931=-0,00931.
Arredondando cada componente do resíduo para 5 casas decimais, obtemos:
r\approx\begin{pmatrix}-0,00558\\[4pt]-0,00012\\[4pt]-0,00931\end{pmatrix}.]

Resposta

a) \displaystyle x=\begin{pmatrix}-8,279\\[4pt]-44,471\\[4pt]3,947\end{pmatrix}
b) \displaystyle r=\begin{pmatrix}-0,00558\\[4pt]-0,00012\\[4pt]-0,00931\end{pmatrix}]

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