Ex1: Dado o sistema abaixo: \left\{\begin{array}{c}0,32 x_{1}-0,12 x_{2}+0,22 x_{3}=3,55 \\\\ 2 x_{1}+0,23 x_{2}+5,35 x_{3}=-5,67 \\\ x_{1}-0,53 x_{2}-3,56 x_{3}=1,23\end{array}\right.
a) Resolva o sistema de equações lineares usando o o método de Decomposição LU. Utilize pivotamento e precisão de 3 casas decimais.
b) Calcule o resíduo do sistema de equações, com precisão de 5 casas.
usando decomposição LU com pivotamento (pivotamento parcial) e precisão de 3 casas decimais durante o processo de fatoração/eliminação.
2. Calcular o resíduo r=b-Ax com precisão de 5 casas decimais, onde A é a matriz do sistema e b o vetor do lado direito.
A ideia da decomposição LU com pivotamento é escrever PA=LU, onde P é uma matriz de permutação (troca de linhas), L é triangular inferior com uns na diagonal e U é triangular superior. Com isso, para resolver Ax=b procedemos como:
Encontrar P,L,U tal que PA=LU.
Calcular Pb.
Resolver Ly=Pb por substituição direta (forward substitution).
Resolver Ux=y por substituição regressiva (back substitution).
Pivotamento parcial: em cada coluna k escolhemos, entre as linhas k,\dots,n, a linha com o maior valor absoluto na coluna k para ser o pivô, e trocamos linhas quando necessário. Isso evita divisões por pivôs muito pequenos e melhora estabilidade.
Regra de arredondamento pedida: durante a decomposição e eliminação, arredondar valores numéricos a 3 casas decimais. Nas etapas de forward/back substitution vou também apresentar com 3 casas.
Passo 3
Primeiro passo prático: coluna 1 — escolher pivô.
Valores absolutos na coluna 1: |0,32|=0,32, |2|=2, |1|=1. O maior é 2 (linha 2). Fazemos a troca de linhas 1\leftrightarrow2. Isso corresponde a aplicar permutação P inicial.
Após a troca (também permutando os correspondentes de b), a matriz estendida [A|b] fica:
Segunda coluna — escolher pivô entre linhas 2 e 3 (coluna 2):
|-0,157|=0,157, |-0,645|=0,645. O maior é 0,645 (linha 3). Fazemos troca de linhas 2\leftrightarrow3.
Ao trocar linhas 2 e 3 nesta etapa devemos também trocar, para manter a forma correta de L, os multiplicadores já calculados na coluna 1 entre as linhas 2 e 3. Ou seja, os valores l_{21} e l_{31} trocam de posição no armazenamento de L. Depois da troca, a matriz estendida fica:
E a matriz L (triangular inferior com 1’s na diagonal), construindo com os multiplicadores já obtidos e colocando 1 na diagonal, é (arredondada a 3 casas):
A permutação P resultante (dois swaps: primeiro 1\leftrightarrow2, depois 2\leftrightarrow3) reordena as linhas originais na sequência (2,3,1). Em forma de vetor, Pb=(b_{2},b_{3},b_{1}).]
x_{3}=\dfrac{3,469}{0,879}=3,94653\ldots\Rightarrow\] arredondando a 3 casas: \(x_{3}=3,947.
Usando linha 2: -0,645\,x_{2}-6,235\,x_{3}=4,065.
Isolar x_{2}: 0,645\,x_{2}=-4,065-6,235\cdot x_{3}.
Substituindo x_{3}=3,947: 6,235\cdot3,947\approx24,60645.
Então 0,645\,x_{2}=-4,065-24,60645=-28,67145.
Logo x_{2}=\dfrac{-28,67145}{0,645}\approx -44,4707\Rightarrow arredondando a 3 casas: x_{2}=-44,471.
Usando linha 1 para x_{1}: 2\,x_{1}=-5,67-0,23\,x_{2}-5,35\,x_{3}.
Substituindo x_{2}=-44,471 e x_{3}=3,947: 0,23\cdot(-44,471)=-10,22833, 5,35\cdot3,947=21,11645.
Soma no lado direito: -5,67-(-10,22833)-21,11645=-5,67+10,22833-21,11645=-16,55712.
Então x_{1}=\dfrac{-16,55712}{2}=-8,27856\Rightarrow arredondando a 3 casas: x_{1}=-8,279.
Portanto a solução aproximada obtida (com 3 casas decimais) é
Agora calculamos o resíduo r=b-Ax usando a matriz A original e o vetor solução x obtido (arredondado a 3 casas). O enunciado pede precisão de 5 casas decimais no resíduo, então apresento os componentes de r com 5 dígitos após a vírgula.
Calculemos Ax componente a componente (usando x_{1}=-8,279, x_{2}=-44,471, x_{3}=3,947):