Considere o seguinte problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=x y-y^{2}+2.3 \\\ y(0)=1.1 \end{array}\right.
Usando h=\mathbf{0 . 1}, encontre uma aproximação para y(\mathbf{1}) :
usando Taylor de ordem 2;

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=x y-y^{2}+2.3,\\[4pt] y(0)=1.1, \end{array}\right.
e pede uma aproximação para y(1) usando passo h=0{,}1 com o método de Taylor de ordem 2.
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação diferencial com f(x,y)=x y-y^{2}+2.3.
  • Condição inicial y(0)=1{,}1.
  • Passo h=0{,}1.
    O objetivo é aplicar a fórmula do método de Taylor de ordem 2 iterativamente de x=0 até x=1 (10 passos).]

Passo 2

Derivação e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • A expansão de Taylor de y(x+h) em torno de x até ordem 2 é
y(x+h)=y(x)+h y'(x)+\frac{h^{2}}{2}y''(x)+O(h^{3}).
  • Como y'(x)=f(x,y), precisamos de y''(x). Pela regra da cadeia para derivar f(x,y(x)) em relação a x,
y''(x)=\frac{d}{dx}f(x,y(x))=f_{x}(x,y)+f_{y}(x,y)\,y'(x).
Aqui f_{x} é a derivada parcial de f em relação a x (tratando y como constante) e f_{y} é a derivada parcial em relação a y.
  • No nosso caso f(x,y)=x y-y^{2}+2{,}3. Calculamos as parciais:
f_{x}(x,y)=y,\qquad f_{y}(x,y)=x-2y.
  • Substituindo y'(x)=f(x,y) temos
y''(x)=f_{x}(x,y)+f_{y}(x,y)\,f(x,y).
  • Portanto a fórmula do método de Taylor de ordem 2 (passo único) que usaremos é
\boxed{\,y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n})+\frac{h^{2}}{2}\Big(f_{x}(x_{n},y_{n})+f_{y}(x_{n},y_{n})\,f(x_{n},y_{n})\Big)\,}
Explicando as peças:
  • x_{n}=x_{0}+n h.
  • y_{n} é a aproximação em x_{n}.
  • f(x_{n},y_{n}) é a inclinação y' no ponto (x_{n},y_{n}).
  • O termo com \frac{h^{2}}{2} corrige segundo a curvatura, usando as parciais f_{x} e f_{y}.
Agora aplicamos essa fórmula com h=0{,}1, x_{0}=0, y_{0}=1{,}1. Em cada passo vou apresentar x_{n}, y_{n}, f(x_{n},y_{n}), f_{x}, f_{y}, o termo interior g_{n}=f_{x}+f_{y}f e então y_{n+1}. Manterei precisão suficiente para seguir sem calculadora com números decimais razoáveis.

Passo 3

Passo n=0 (de x_{0}=0 para x_{1}=0{,}1):
  • x_{0}=0, y_{0}=1{,}1.
  • f_{0}=f(x_{0},y_{0})=0\cdot1{,}1-(1{,}1)^{2}+2{,}3= -1{,}21+2{,}3=1{,}09.
  • f_{x0}=y_{0}=1{,}1.
  • f_{y0}=x_{0}-2y_{0}=0-2{,}2=-2{,}2.
  • g_{0}=f_{x0}+f_{y0}f_{0}=1{,}1+(-2{,}2)\cdot1{,}09=1{,}1-2{,}398=-1{,}298.
  • Aplicando a fórmula:
y_{1}=1{,}1+0{,}1\cdot1{,}09+\frac{0{,}1^{2}}{2}(-1{,}298)=1{,}1+0{,}109+0{,}005\cdot(-1{,}298)=1{,}20251.

Passo 4

Passo n=1 (para x_{2}=0{,}2):
  • x_{1}=0{,}1, y_{1}=1{,}20251.
  • f_{1}=0{,}1\cdot1{,}20251-(1{,}20251)^{2}+2{,}3=0{,}120251-1{,}4460303001+2{,}3\approx0{,}974220700.
  • f_{x1}=y_{1}=1{,}20251.
  • f_{y1}=0{,}1-2\cdot1{,}20251=0{,}1-2{,}40502=-2{,}30502.
  • g_{1}=1{,}20251+(-2{,}30502)\cdot0{,}974220700\approx1{,}20251-2{,}2455995\approx-1{,}0430895.
  • Então
y_{2}=1{,}20251+0{,}1\cdot0{,}974220700+0{,}005\cdot(-1{,}0430895)\approx1{,}2947166225.

Passo 5

Passo n=2 (para x_{3}=0{,}3):
  • x_{2}=0{,}2, y_{2}\approx1{,}2947166225.
  • f_{2}=0{,}2\cdot1{,}2947166225-(1{,}2947166225)^{2}+2{,}3\approx0{,}2589433245-1{,}67629113+2{,}3\approx0{,}882652194.
  • f_{x2}=y_{2}=1{,}2947166225.
  • f_{y2}=0{,}2-2\cdot1{,}2947166225=0{,}2-2{,}589433245=-2{,}389433245.
  • g_{2}=1{,}2947166225+(-2{,}389433245)\cdot0{,}882652194\approx1{,}2947166225-2{,}10903629\approx-0{,}8143196675.
  • Então
y_{3}\approx1{,}2947166225+0{,}1\cdot0{,}882652194+0{,}005\cdot(-0{,}8143196675)\approx1{,}37891024356.

Passo 6

Passo n=3 (para x_{4}=0{,}4):
  • x_{3}=0{,}3, y_{3}\approx1{,}37891024356.
  • f_{3}=0{,}3\cdot1{,}37891024356-(1{,}37891024356)^{2}+2{,}3\approx0{,}41367307307-1{,}90139405+2{,}3\approx0{,}81227902307.
  • f_{x3}=1{,}37891024356.
  • f_{y3}=0{,}3-2\cdot1{,}37891024356=0{,}3-2{,}75782048712=-2{,}45782048712.
  • g_{3}=1{,}37891024356+(-2{,}45782048712)\cdot0{,}81227902307\approx1{,}37891024356-1{,}99643139\approx-0{,}61752114644.
  • Então
y_{4}\approx1{,}37891024356+0{,}1\cdot0{,}81227902307+0{,}005\cdot(-0{,}61752114644)\approx1{,}45705054013.

Passo 7

Passo n=4 (para x_{5}=0{,}5):
  • x_{4}=0{,}4, y_{4}\approx1{,}45705054013.
  • f_{4}=0{,}4\cdot1{,}45705054013-(1{,}45705054013)^{2}+2{,}3\approx0{,}58282021605-2{,}122996274+2{,}3\approx0{,}75982394205.
  • f_{x4}=1{,}45705054013.
  • f_{y4}=0{,}4-2\cdot1{,}45705054013=0{,}4-2{,}91410108026=-2{,}51410108026.
  • g_{4}=1{,}45705054013+(-2{,}51410108026)\cdot0{,}75982394205\approx1{,}45705054013-1{,}91026288\approx-0{,}45321234.
  • Então
y_{5}\approx1{,}45705054013+0{,}1\cdot0{,}75982394205+0{,}005\cdot(-0{,}45321234)\approx1{,}53076687264.

Passo 8

Passo n=5 (para x_{6}=0{,}6):
  • x_{5}=0{,}5, y_{5}\approx1{,}53076687264.
  • f_{5}=0{,}5\cdot1{,}53076687264-(1{,}53076687264)^{2}+2{,}3\approx0{,}76538343632-2{,}343246588+2{,}3\approx0{,}72213684832.
  • f_{x5}=1{,}53076687264.
  • f_{y5}=0{,}5-2\cdot1{,}53076687264=0{,}5-3{,}06153374528=-2{,}56153374528.
  • g_{5}=1{,}53076687264+(-2{,}56153374528)\cdot0{,}72213684832\approx1{,}53076687264-1{,}84977713\approx-0{,}31901026.
  • Então
y_{6}\approx1{,}53076687264+0{,}1\cdot0{,}72213684832+0{,}005\cdot(-0{,}31901026)\approx1{,}60138550617.

Passo 9

Passo n=6 (para x_{7}=0{,}7):
  • x_{6}=0{,}6, y_{6}\approx1{,}60138550617.
  • f_{6}=0{,}6\cdot1{,}60138550617-(1{,}60138550617)^{2}+2{,}3\approx0{,}96083130370-2{,}56443554+2{,}3\approx0{,}69639576370.
  • f_{x6}=1{,}60138550617.
  • f_{y6}=0{,}6-2\cdot1{,}60138550617=0{,}6-3{,}20277101234=-2{,}60277101234.
  • g_{6}=1{,}60138550617+(-2{,}60277101234)\cdot0{,}69639576370\approx1{,}60138550617-1{,}8125575\approx-0{,}2111720.
  • Então
y_{7}\approx1{,}60138550617+0{,}1\cdot0{,}69639576370+0{,}005\cdot(-0{,}2111720)\approx1{,}66996922254.

Passo 10

Passo n=7 (para x_{8}=0{,}8):
  • x_{7}=0{,}7, y_{7}\approx1{,}66996922254.
  • f_{7}=0{,}7\cdot1{,}66996922254-(1{,}66996922254)^{2}+2{,}3\approx1{,}16897845578-2{,}788797+2{,}3\approx0{,}68018145578.
  • f_{x7}=1{,}66996922254.
  • f_{y7}=0{,}7-2\cdot1{,}66996922254=0{,}7-3{,}33993844508=-2{,}63993844508.
  • g_{7}=1{,}66996922254+(-2{,}63993844508)\cdot0{,}68018145578\approx1{,}66996922254-1{,}79556\approx-0{,}12559078.
  • Então
y_{8}\approx1{,}66996922254+0{,}1\cdot0{,}68018145578+0{,}005\cdot(-0{,}12559078)\approx1{,}73735941422.

Passo 11

Passo n=8 (para x_{9}=0{,}9):
  • x_{8}=0{,}8, y_{8}\approx1{,}73735941422.
  • f_{8}=0{,}8\cdot1{,}73735941422-(1{,}73735941422)^{2}+2{,}3\approx1{,}38988753138-3{,}018417+2{,}3\approx0{,}67147053138.
  • f_{x8}=1{,}73735941422.
  • f_{y8}=0{,}8-2\cdot1{,}73735941422=0{,}8-3{,}47471882844=-2{,}67471882844.
  • g_{8}=1{,}73735941422+(-2{,}67471882844)\cdot0{,}67147053138\approx1{,}73735941422-1{,}79610\approx-0{,}05874059.
  • Então
y_{9}\approx1{,}73735941422+0{,}1\cdot0{,}67147053138+0{,}005\cdot(-0{,}05874059)\approx1{,}80421276443.

Passo 12

Passo n=9 (para x_{10}=1{,}0; este é o último passo, queremos y(1)):
  • x_{9}=0{,}9, y_{9}\approx1{,}80421276443.
  • f_{9}=0{,}9\cdot1{,}80421276443-(1{,}80421276443)^{2}+2{,}3\approx1{,}62379148799-3{,}25518366+2{,}3\approx0{,}66860782799.
  • f_{x9}=1{,}80421276443.
  • f_{y9}=0{,}9-2\cdot1{,}80421276443=0{,}9-3{,}60842552886=-2{,}70842552886.
  • g_{9}=1{,}80421276443+(-2{,}70842552886)\cdot0{,}66860782799\approx1{,}80421276443-1{,}810242? \approx-0{,}005987.
  • Aplicando a fórmula final:
y_{10}=y_{9}+0{,}1\cdot f_{9}+0{,}005\cdot g_{9}\approx1{,}80421276443+0{,}066860782799-0{,}000029935\approx1{,}871043612.

Resposta

y(1)\approx1{,}871043612

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