Considere o seguinte problema de valor inicial:
Usando
, encontre uma aproximação para
:
usando Taylor de ordem 2;
usando Taylor de ordem 2;
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede uma aproximação para
usando passo
com o método de Taylor de ordem 2.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Equação diferencial com
. - Condição inicial
. - Passo
.
O objetivo é aplicar a fórmula do método de Taylor de ordem 2 iterativamente deaté (10 passos).]
Passo 2
Derivação e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- A expansão de Taylor de
em torno de até ordem 2 é
- Como
, precisamos de . Pela regra da cadeia para derivar em relação a ,
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
.
- No nosso caso
. Calculamos as parciais:
- Substituindo
temos
- Portanto a fórmula do método de Taylor de ordem 2 (passo único) que usaremos é
Explicando as peças:
-
. -
é a aproximação em . -
é a inclinação no ponto . - O termo com
corrige segundo a curvatura, usando as parciais e .
Agora aplicamos essa fórmula com
,
,
. Em cada passo vou apresentar
,
,
,
,
, o termo interior
e então
. Manterei precisão suficiente para seguir sem calculadora com números decimais razoáveis.
Passo 3
Passo
(de
para
):
-
, . -
. -
. -
. -
. - Aplicando a fórmula:
Passo 4
Passo
(para
):
-
, . -
. -
. -
. -
. - Então
Passo 5
Passo
(para
):
-
, . -
. -
. -
. -
. - Então
Passo 6
Passo
(para
):
-
, . -
. -
. -
. -
. - Então
Passo 7
Passo
(para
):
-
, . -
. -
. -
. -
. - Então
Passo 8
Passo
(para
):
-
, . -
. -
. -
. -
. - Então
Passo 9
Passo
(para
):
-
, . -
. -
. -
. -
. - Então
Passo 10
Passo
(para
):
-
, . -
. -
. -
. -
. - Então
Passo 11
Passo
(para
):
-
, . -
. -
. -
. -
. - Então
Passo 12
Passo
(para
; este é o último passo, queremos
):
-
, . -
. -
. -
. -
. - Aplicando a fórmula final: