Para encontrar uma aproximação para a integral \int_{0}^{1} f(x) dx na qual f(x)=e^{-\left(\frac{x}{4.2 \%}\right)^{2}}, siga este procedimento:
Aproxime a integral de f(x) pela integral de p_{2}(x).

Passo 1

O que o enunciado pede: aproximar a integral
\int_{0}^{1} f(x)\,dx
onde foi dada a função
f(x)=e^{-\left(\dfrac{x}{4,2\%}\right)^{2}}.
Informações importantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\exp\!\big(-(\tfrac{x}{4,2\%})^{2}\big).
  • A notação 4,2\% significa 0,042 (quatro vírgula dois por cento = 0,042 em valor decimal).
  • O procedimento exigido: aproximar a integral de f pela integral de p_{2}(x), ou seja, encontrar um polinômio de grau 2 que aproxime f e calcular a integral desse polinômio em [0,1].

Passo 2

Escolha do tipo de p_{2} e por quê (explicação didática)
  • Uma forma natural e simples de obter um polinômio de grau 2 que aproxime f ao redor de x=0 é usar a série de Taylor (Maclaurin, pois expandimos em 0) de f até termos de grau 2.
  • Vou usar a expansão de e^{u} com u=-\left(\tfrac{x}{a}\right)^{2}, onde a=4,2\%=0,042. A expansão de e^{u} é a ferramenta básica para aproximar funções suaves por polinômios; eu vou mostrar como e por que funciona na prática no próximo passo.

Passo 3

Aula rápida: série de Taylor (Maclaurin) de e^{u} aplicada aqui
  • Fórmula básica: para qualquer u, temos
e^{u} = 1 + u + \dfrac{u^{2}}{2!} + \dfrac{u^{3}}{3!} + \cdots.
  • No nosso caso, u = -\left(\dfrac{x}{a}\right)^{2} com a=0,042. Substituindo:
f(x)=e^{-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}} = 1 + \left(-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}\right) + \dfrac{\left(-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}\right)^{2}}{2!} + \cdots.
  • Desenvolvendo os primeiros termos (para ver a estrutura):
f(x)=1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{4}}{2\,a^{4}} - \frac{x^{6}}{6\,a^{6}} + \cdots.

Passo 4

Construção de p_{2}(x) (polinômio de grau 2)
  • O polinômio de grau 2 (Maclaurin truncado) retém os termos até x^{2}:
p_{2}(x)=1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}.
  • Lembrando a=0,042, podemos escrever
p_{2}(x)=1 - \frac{x^{2}}{(0,042)^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{0,001764}.
  • Observação importante (didática): este polinômio aproxima muito bem f quando x é pequeno comparado a a, ou seja, para x\ll 0,042. Para x na vizinhança de 1, os termos omitidos (começando por x^{4}/(2a^{4})) podem ser enormes, então cuidado — vou quantificar isso mais adiante.

Passo 5

Integração de p_{2}(x) em [0,1] passo a passo
  • Escrevemos a integral aproximada pedida:
\int_{0}^{1} f(x)\,dx \approx \int_{0}^{1} p_{2}(x)\,dx.
  • Calcule a integral de p_{2}:
\int_{0}^{1} p_{2}(x)\,dx = \int_{0}^{1} \left(1 - \frac{x^{2}}{a^{2}}\right) dx.
  • Integrando termo a termo:
\int_{0}^{1} 1\,dx = \big[x\big]_{0}^{1} = 1,
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{a^{2}}\,dx = \frac{1}{a^{2}}\int_{0}^{1} x^{2}\,dx = \frac{1}{a^{2}}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{3a^{2}}.
  • Portanto
\int_{0}^{1} p_{2}(x)\,dx = 1 - \frac{1}{3a^{2}}.

Passo 6

Cálculo numérico explícito (com todas as contas)
  • Recordando a=0,042, temos
a^{2}=(0,042)^{2}=0,001764.
  • Então
3a^{2}=3\cdot 0,001764=0,005292.
  • Logo
\frac{1}{3a^{2}}=\frac{1}{0,005292}\approx 188,9322593.
  • Substituindo em 1-\dfrac{1}{3a^{2}} obtemos
\int_{0}^{1} p_{2}(x)\,dx = 1 - 188,9322593 \approx -187,9322593.

Passo 7

Interpretação do resultado e aviso didático (por que isso deu um número absurdo?)
  • A resposta numérica é negativa: -187,9322593. Isso é fisicamente/algébricamente estranho porque f(x)=e^{-(x/a)^{2}} é sempre positiva, logo sua integral real deve ser positiva.
  • Explicação: a expansão em série que usamos tem termos de ordem x^{4},x^{6},\dots que, para x comparável a 1 e com a muito pequeno ( a=0,042), são imensamente grandes. O primeiro termo omitido é
\frac{x^{4}}{2a^{4}}
que para x=1 vale aproximadamente
\frac{1}{2a^{4}}=\frac{1}{2(0,001764)^{2}}\approx 1,6\times 10^{5},
ou seja, enorme e positivo. Esses termos omitidos compensam (e muito) o -\dfrac{x^{2}}{a^{2}} do polinômio truncado; truncar na ordem 2 numa região tão longe de 0 dá uma aproximação péssima. Conclusão prática: a aproximação pedida (usar p_{2} de Maclaurin e integrar até 1) segue o procedimento pedido mas não é uma boa aproximação numérica para esta função no intervalo [0,1].

Passo 8

Sugestão útil (como eu realmente estimaria a integral na prática, para seu ânimo)
  • Como dica prática: f(x)=e^{-(x/a)^{2}} é uma gaussiana concentrada perto de 0 quando a é pequeno. A integral até +\infty é bem conhecida:
\int_{0}^{\infty} e^{-(x/a)^{2}} dx = a\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}.
  • Com a=0,042 isso dá aproximadamente
a\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2} \approx 0,042\cdot 0,886226925\approx 0,0372575.
  • Como a cauda além de x=1 é desprezível (para esse a), uma estimativa prática muito melhor para \int_{0}^{1} f(x)\,dx é aproximadamente 0,0373. Só estou dando isso para te animar: o procedimento pedido foi feito (truncamento e integração) e mostrou por que o truncamento é inadequado; a estimativa acima é a abordagem que eu usaria numa prova se fosse permitido usar a integral gaussiana conhecida.

Resposta

-187,9322593

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