Para encontrar uma aproximação para a integral
na qual
, siga este procedimento:
Aproxime a integral de
pela integral de
.
Aproxime a integral de
Passo 1
O que o enunciado pede: aproximar a integral
onde foi dada a função
Informações importantes fornecidas:
- A função é
. - A notação
significa (quatro vírgula dois por cento = em valor decimal). - O procedimento exigido: aproximar a integral de
pela integral de , ou seja, encontrar um polinômio de grau 2 que aproxime e calcular a integral desse polinômio em .
Passo 2
Escolha do tipo de
e por quê (explicação didática)
- Uma forma natural e simples de obter um polinômio de grau 2 que aproxime
ao redor de é usar a série de Taylor (Maclaurin, pois expandimos em ) de até termos de grau 2. - Vou usar a expansão de
com , onde . A expansão de é a ferramenta básica para aproximar funções suaves por polinômios; eu vou mostrar como e por que funciona na prática no próximo passo.
Passo 3
Aula rápida: série de Taylor (Maclaurin) de
aplicada aqui
- Fórmula básica: para qualquer
, temos
- No nosso caso,
com . Substituindo:
- Desenvolvendo os primeiros termos (para ver a estrutura):
Passo 4
Construção de
(polinômio de grau 2)
- O polinômio de grau 2 (Maclaurin truncado) retém os termos até
:
- Lembrando
, podemos escrever
- Observação importante (didática): este polinômio aproxima muito bem
quando é pequeno comparado a , ou seja, para . Para na vizinhança de , os termos omitidos (começando por ) podem ser enormes, então cuidado — vou quantificar isso mais adiante.
Passo 5
Integração de
em
passo a passo
- Escrevemos a integral aproximada pedida:
- Calcule a integral de
:
- Integrando termo a termo:
- Portanto
Passo 6
Cálculo numérico explícito (com todas as contas)
- Recordando
, temos
- Então
- Logo
- Substituindo em
obtemos
Passo 7
Interpretação do resultado e aviso didático (por que isso deu um número absurdo?)
- A resposta numérica é negativa:
. Isso é fisicamente/algébricamente estranho porque é sempre positiva, logo sua integral real deve ser positiva. - Explicação: a expansão em série que usamos tem termos de ordem
que, para comparável a e com muito pequeno ( ), são imensamente grandes. O primeiro termo omitido é
que para
vale aproximadamente
ou seja, enorme e positivo. Esses termos omitidos compensam (e muito) o
do polinômio truncado; truncar na ordem
numa região tão longe de
dá uma aproximação péssima. Conclusão prática: a aproximação pedida (usar
de Maclaurin e integrar até
) segue o procedimento pedido mas não é uma boa aproximação numérica para esta função no intervalo
.
Passo 8
Sugestão útil (como eu realmente estimaria a integral na prática, para seu ânimo)
- Como dica prática:
é uma gaussiana concentrada perto de quando é pequeno. A integral até é bem conhecida:
- Com
isso dá aproximadamente
- Como a cauda além de
é desprezível (para esse ), uma estimativa prática muito melhor para é aproximadamente . Só estou dando isso para te animar: o procedimento pedido foi feito (truncamento e integração) e mostrou por que o truncamento é inadequado; a estimativa acima é a abordagem que eu usaria numa prova se fosse permitido usar a integral gaussiana conhecida.