Considere o seguinte problema de valor inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=x y-y^{2}+2.8 \\\ y(0)=2 \end{array}\right.
Usando h=\mathbf{0 . 1}, encontre uma aproximação para y(\mathbf{1}) :
usando o método de Euler;

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial ordinária e uma condição inicial. As informações e o que se pede são:
  • Equação: y' = x y - y^{2} + 2,8.
  • Condição inicial: y(0)=2.
  • Passo (tamanho do passo): h=0,1.
  • Ponto onde precisamos da aproximação: x=1, ou seja, queremos uma aproximação de y(1).
Resumo do pedido: usar o método de Euler com h=0,1 partindo de x_0=0, y_0=2 e calcular y em x=1.

Passo 2

Breve aula sobre o método de Euler (do jeito amigo e sem complicar):
  • O método de Euler é uma forma simples de aproximar a solução de uma EDO passo a passo. Se a EDO é y' = f(x,y) e temos y(x_0)=y_0, então, com passo h, definimos os pontos x_{n+1} = x_n + h,
y_{n+1} = y_n + h\, f(x_n,y_n).
  • Aqui f(x,y) é a função que aparece no lado direito da EDO; x_n e y_n são as aproximações em cada passo; h é o incremento em x.
  • Intuição: usamos a inclinação f(x_n,y_n) no ponto atual para avançar linearmente até o próximo ponto — é como seguir a reta tangente por um pequeno trecho.
No nosso problema temos
f(x,y)=x y - y^{2} + 2,8.

Passo 3

Quantos passos precisamos dar de x=0 até x=1 com h=0,1?
\text{número de passos } N=\frac{1-0}{0,1}=10.ú
Ou seja, vamos calcular y_1,y_2,\dots,y_{10}, onde y_{10} será a aproximação de y(1). Vou mostrar cada iteração com as contas explicadas.

Passo 4

Passo 0 → 1 ( x_0=0, y_0=2 ):
Calcular f(x_0,y_0):
f(0,2)=0\cdot2 - 2^{2} + 2,8 = 0 - 4 + 2,8 = -1,2.
Atualizar y:
y_1 = y_0 + h f(0,2) = 2 + 0,1\cdot(-1,2)=2 - 0,12 = 1,88.
Logo x_1=0,1, y_1=1,88.

Passo 5

Passo 1 → 2 ( x_1=0,1, y_1=1,88 ):
Calcular f(x_1,y_1):
f(0,1,1,88)=0,1\cdot1,88 - 1,88^{2} + 2,8 = 0,188 - 3,5344 + 2,8 = -0,5464.
Atualizar y:
y_2 = 1,88 + 0,1\cdot(-0,5464) = 1,88 - 0,05464 = 1,82536.
Logo x_2=0,2, y_2\approx 1,82536.

Passo 6

Passo 2 → 3 ( x_2=0,2, y_2\approx 1,82536 ):
Calcular f(x_2,y_2):
f(0,2,1,82536)=0,2\cdot1,82536 - 1,82536^{2} + 2,8.
Primeiro 0,2\cdot1,82536=0,365072.
1,82536^{2}=3,3319391296 (multiplicação direta).
Logo
f(0,2,1,82536)=0,365072 - 3,3319391296 + 2,8 = -0,1668671296.
Atualizar y:
y_3 = 1,82536 + 0,1\cdot(-0,1668671296) = 1,82536 - 0,01668671296 = 1,80867328704.
Portanto x_3=0,3, y_3\approx 1,80867328704.

Passo 7

Passo 3 → 4 ( x_3=0,3, y_3\approx 1,80867328704 ):
Calcular f:
0,3\cdot1,80867328704 = 0,542601986112.
Calcular quadrado (p.ex. por multiplicação ou usando expansão): 1,80867328704^{2}\approx 3,271298020929.
Então
f(0,3,1,80867328704)=0,542601986112 - 3,271298020929 + 2,8 = 0,071303965183.
Atualizar y:
y_4 = 1,80867328704 + 0,1\cdot0,071303965183 = 1,80867328704 + 0,0071303965183 = 1,8158036835583.
Assim x_4=0,4, y_4\approx 1,81580368356.

Passo 8

Passo 4 → 5 ( x_4=0,4, y_4\approx 1,8158036835583 ):
Calcular f:
0,4\cdot1,8158036835583=0,72632147342332.
Quadrado: 1,8158036835583^{2}\approx 3,297141980929 (cálculo por expansão).
Logo
f(0,4,1,8158036835583)=0,72632147342332 - 3,297141980929 + 2,8 = 0,22917949249432.
Atualizar y:
y_5 = 1,8158036835583 + 0,1\cdot0,22917949249432 = 1,8158036835583 + 0,022917949249432 = 1,838721632807732.
Portanto x_5=0,5, y_5\approx 1,83872163281.

Passo 9

Passo 5 → 6 ( x_5=0,5, y_5\approx 1,838721632807732 ):
Calcular f:
0,5\cdot1,838721632807732 = 0,919360816403866.
Quadrado: 1,838721632807732^{2}\approx 3,380894320929.
Então
f(0,5,1,838721632807732)=0,919360816403866 - 3,380894320929 + 2,8 = 0,338466495474866.
Atualizar y:
y_6 = 1,838721632807732 + 0,1\cdot0,338466495474866 = 1,838721632807732 + 0,0338466495474866 = 1,8725682823552186.
Assim x_6=0,6, y_6\approx 1,87256828236.

Passo 10

Passo 6 → 7 ( x_6=0,6, y_6\approx 1,8725682823552186 ):
Calcular f:
0,6\cdot1,8725682823552186 = 1,1235409694131312.
Quadrado: 1,8725682823552186^{2}\approx 3,506515420929.
Logo
f(0,6,1,8725682823552186)=1,1235409694131312 - 3,506515420929 + 2,8 = 0,4170255484841312.
Atualizar y:
y_7 = 1,8725682823552186 + 0,1\cdot0,4170255484841312 = 1,8725682823552186 + 0,04170255484841312 = 1,9142708372036317.
Portanto x_7=0,7, y_7\approx 1,91427083720.

Passo 11

Passo 7 → 8 ( x_7=0,7, y_7\approx 1,9142708372036317 ):
Calcular f:
0,7\cdot1,9142708372036317 = 1,3399895860425422.
Quadrado: 1,9142708372036317^{2}\approx 3,664438020929.
Então
f(0,7,1,9142708372036317)=1,3399895860425422 - 3,664438020929 + 2,8 = 0,4755515651135422.
Atualizar y:
y_8 = 1,9142708372036317 + 0,1\cdot0,4755515651135422 = 1,9142708372036317 + 0,04755515651135422 = 1,9618259937149859.
Logo x_8=0,8, y_8\approx 1,96182599371.

Passo 12

Passo 8 → 9 ( x_8=0,8, y_8\approx 1,9618259937149859 ):
Calcular f:
0,8\cdot1,9618259937149859 = 1,5694607949719887.
Quadrado: 1,9618259937149859^{2}\approx 3,848785020929.
Então
f(0,8,1,9618259937149859)=1,5694607949719887 - 3,848785020929 + 2,8 = 0,5206757740429887.
Atualizar y:
y_9 = 1,9618259937149859 + 0,1\cdot0,5206757740429887 = 1,9618259937149859 + 0,05206757740429887 = 2,0138935711192848.
Assim x_9=0,9, y_9\approx 2,01389357112.

Passo 13

Passo 9 → 10 ( x_9=0,9, y_9\approx 2,0138935711192848 ) — último passo até x_{10}=1:
Calcular f:
0,9\cdot2,0138935711192848 = 1,8125042130073563.
Quadrado: 2,0138935711192848^{2}\approx 4,055783820929.
Então
f(0,9,2,0138935711192848)=1,8125042130073563 - 4,055783820929 + 2,8 = 0,5567203920783563.
Atualizar y:
y_{10} = 2,0138935711192848 + 0,1\cdot0,5567203920783563 = 2,0138935711192848 + 0,05567203920783563 = 2,0695656103271204.
Portanto x_{10}=1,0 e a aproximação obtida é y_{10}\approx 2,0695656103271204.

Resposta

2,0695656103271204

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