Considere o seguinte problema de valor inicial:
Usando
, encontre uma aproximação para
:
usando o método de Euler;
usando o método de Euler;
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial com a equação diferencial ordinária e uma condição inicial. As informações e o que se pede são:
- Equação:
. - Condição inicial:
. - Passo (tamanho do passo):
. - Ponto onde precisamos da aproximação:
, ou seja, queremos uma aproximação de .
Resumo do pedido: usar o método de Euler com
partindo de
,
e calcular
em
.
Passo 2
Breve aula sobre o método de Euler (do jeito amigo e sem complicar):
- O método de Euler é uma forma simples de aproximar a solução de uma EDO passo a passo. Se a EDO é
e temos , então, com passo , definimos os pontos
- Aqui
é a função que aparece no lado direito da EDO; e são as aproximações em cada passo; é o incremento em . - Intuição: usamos a inclinação
no ponto atual para avançar linearmente até o próximo ponto — é como seguir a reta tangente por um pequeno trecho.
No nosso problema temos
Passo 3
Quantos passos precisamos dar de
até
com
?
Ou seja, vamos calcular
, onde
será a aproximação de
. Vou mostrar cada iteração com as contas explicadas.
Passo 4
Passo 0 → 1 (
,
):
Calcular :
Calcular
Atualizar
:
Logo
,
.
Passo 5
Passo 1 → 2 (
,
):
Calcular :
Calcular
Atualizar
:
Logo
,
.
Passo 6
Passo 2 → 3 (
,
):
Calcular :
Calcular
Primeiro
.
Já (multiplicação direta).
Logo
Já
Logo
Atualizar
:
Portanto
,
.
Passo 7
Passo 3 → 4 (
,
):
Calcular :
Calcular
Calcular quadrado (p.ex. por multiplicação ou usando expansão):
.
Então
Então
Atualizar
:
Assim
,
.
Passo 8
Passo 4 → 5 (
,
):
Calcular :
Calcular
Quadrado:
(cálculo por expansão).
Logo
Logo
Atualizar
:
Portanto
,
.
Passo 9
Passo 5 → 6 (
,
):
Calcular :
Calcular
Quadrado:
.
Então
Então
Atualizar
:
Assim
,
.
Passo 10
Passo 6 → 7 (
,
):
Calcular :
Calcular
Quadrado:
.
Logo
Logo
Atualizar
:
Portanto
,
.
Passo 11
Passo 7 → 8 (
,
):
Calcular :
Calcular
Quadrado:
.
Então
Então
Atualizar
:
Logo
,
.
Passo 12
Passo 8 → 9 (
,
):
Calcular :
Calcular
Quadrado:
.
Então
Então
Atualizar
:
Assim
,
.
Passo 13
Passo 9 → 10 (
,
) — último passo até
:
Calcular :
Calcular
Quadrado:
.
Então
Então
Atualizar
:
Portanto
e a aproximação obtida é
.