Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
l y^prime=-1x^3-yx y(1)=1
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo x in[a, b]=[1,2] usando 4 subintervalos.
a) Obtenha essa solução aproximada através do Método de Euler.

Passo 1

Beleza, olha só o que temos: um Problema de Valor Inicial (PVI)
y'=-dfrac1x^3-dfrac yx, y(1)=1,
no intervalo , e a gente quer aproximar a solução usando 4 subintervalos com o Método de Euler. O conteúdo aqui é Equações Diferenciais Ordinárias e, mais especificamente, o Método de Euler. Vamos precisar definir o passo de malha , a função que vem da derivada, e aplicar a fórmula iterativa do Euler.

Passo 2

O Método de Euler funciona assim: para um PVI
y'=f(x,y), y(x0)=y0,
a gente escolhe um tamanho de passo xn+1=xn+h, yn+1=yn+h,f(xn,yn) e define
f(x,y)=-1x^3- yx
No nosso caso

Passo 3

Calcular o passo h=b-aN=2-14=0.25 :
xn = 1 + ncdot0.25, n=0,1,2,3,4,
Os pontos serão
isto é , , , , .

Passo 4

Agora iteramos:
Para x0=1,;y0=1,; f(x0,y0)=-11^3-11=-2, :
y1 = y0 + h,f(x0,y0) = 1 + 0.25cdot(-2) = 0.5

Passo 5

Para x1=1.25,;y1=0.5,; f(x1,y1)=-11.25^3-0.51.25 =-0.512 -0.4 = -0.912, :
y2 = 0.5 + 0.25cdot(-0.912) approx 0.272

Passo 6

Para x2=1.5,;y2approx0.272,; f(x2,y2)=-11.5^3-0.2721.5 =-0.296 -0.1813 = -0.4773, :
y3 = 0.272 + 0.25cdot(-0.4773)approx 0.1527

Passo 7

Para x3=1.75,;y3approx0.1527,; f(x3,y3)=-11.75^3-0.15271.75 =-0.1866 -0.0873 = -0.2739, :
y4 = 0.1527 + 0.25cdot(-0.2739)approx 0.0842

Resposta

A solução aproximada pelo Método de Euler nos nós y1=0.500, y2approx0.272, y3approx0.1527, y4approx0.0842 é respectivamente

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