para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo usando 4 subintervalos.
Sabendo-se que a solução analítica é dada por , faça uma estimativa do erro que ocorre ao aplicar o método numérico.
Passo 1
Beleza, o exercício diz assim: a gente tem o PVI
já sabemos que a solução exata é , mas queremos aproximar numericamente em 4 subintervalos e estimar o erro que rola.
Conteúdo: método de Euler explícito e cota de erro global para Euler. Vamos precisar de:
passo ,
fórmula de Euler ,
derivadas da solução exata pra cota de erro (vamos achar um que limite ) e o Lipschitz em pra função .
Passo 2
Primeiro, o método de Euler diz:
seja , e
com . A cada passo a gente usa esse “palpite” de reta tangente pra avançar.
Passo 3
Vamos calcular passo a passo:
: , . . , .
: , . . , .
: , . . , .
: , . . , .
Passo 4
Como a solução exata em é , o erro global aproximado é
Passo 5
Pra ter uma ideia da cota teórica de erro:
Calculamos |En|<= hM2Ll(e^L(b-a)-1r) =0.25cdot62cdot1(e^1-1) =0.75,(e-1)approx1.29, . No intervalo , .
A função em tem , logo Lipschitz .
A cota de erro global do Euler é
que é bem mais folgada que o erro real (~0.166), mas garante que não estouramos.
Resposta
O valor aproximado em boxed0.16585 pelo método de Euler com 4 subintervalos é , a solução exata é , então o erro numérico é aproximadamente