Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
l y^prime=-1x^3-yx y(1)=1
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo x in[a, b]=[1,2] usando 4 subintervalos.
Sabendo-se que a solução analítica é dada por y(x)=1x^2, faça uma estimativa do erro que ocorre ao aplicar o método numérico.

Passo 1

Beleza, o exercício diz assim: a gente tem o PVI
y'=-1x^3- yx, y(1)=1, xin[1,2],
já sabemos que a solução exata é , mas queremos aproximar numericamente em 4 subintervalos e estimar o erro que rola.
Conteúdo: método de Euler explícito e cota de erro global para Euler. Vamos precisar de:
  • passo ,
  • fórmula de Euler ,
  • derivadas da solução exata pra cota de erro (vamos achar um que limite ) e o Lipschitz em pra função .

Passo 2

Primeiro, o método de Euler diz:
seja yn+1=yn + h,f(xn,yn), f(x,y)=-1x^3- yx, , e
com . A cada passo a gente usa esse “palpite” de reta tangente pra avançar.

Passo 3

Vamos calcular passo a passo:
  1. : , .
    .
    , .
  2. : , .
    .
    , .
  3. : , .
    .
    , .
  4. : , .
    .
    , .

Passo 4

Como a solução exata em l|y(2)-y4r| =l|0.25 - 0.08415r| approx 0.16585 é , o erro global aproximado é

Passo 5

Pra ter uma ideia da cota teórica de erro:
  • Calculamos |En|<= hM2Ll(e^L(b-a)-1r) =0.25cdot62cdot1(e^1-1) =0.75,(e-1)approx1.29, . No intervalo , .
  • A função em tem , logo Lipschitz .
A cota de erro global do Euler é
que é bem mais folgada que o erro real (~0.166), mas garante que não estouramos.

Resposta

O valor aproximado em boxed0.16585 pelo método de Euler com 4 subintervalos é , a solução exata é , então o erro numérico é aproximadamente

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