Mostrar, por indução, que
n^2>2 n+1, forall n >= 3

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer provar que
n^2 > 2n + 1,, forall n >= 3
Conteúdo da matéria: prova por indução em números naturais.
O que vamos precisar:
- Entender a estrutura “base da indução” e “passo indutivo”.
- Saber manipular desigualdades simples e usar a hipótese de indução.

Passo 2

Base da indução (caso ):
Verificamos diretamente se .
No lado esquerdo temos .
No lado direito temos .
Como , a propriedade vale para .

Passo 3

Hipótese de indução:
Suponha que, para algum k^2 > 2k + 1 , já seja verdade que
Essa suposição é o que chamamos de hipótese indutiva. Agora a gente vai usar isso para provar o caso .

Passo 4

Passo indutivo (provar para (k+1)^2 > 2(k+1) + 1 ):
Queremos mostrar
(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1
Começamos expandindo o quadrado:
k^2 + 2k + 1 > (2k + 1) + (2k + 1) = 4k + 2
Pela hipótese de indução temos (k+1)^2 > 4k + 2 . Então, somando 4k + 2 - (2k + 3) = 2k - 1 >= 2cdot3 - 1 = 5 > 0, em ambos os lados:
(k+1)^2 > 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k+1) + 1
Logo
Agora comparamos com .
Note que, para ,
ou seja, . Portanto
Isso fecha o passo indutivo.

Resposta

Pela base de indução em n^2 > 2n + 1 e pelo passo indutivo, concluímos que
vale para todo .

Exercícios relacionados