Mostrar, por indução, que
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer provar que
Conteúdo da matéria: prova por indução em números naturais.
O que vamos precisar:
- Entender a estrutura “base da indução” e “passo indutivo”.
- Saber manipular desigualdades simples e usar a hipótese de indução.
Passo 2
Base da indução (caso
):
Verificamos diretamente se .
No lado esquerdo temos .
No lado direito temos .
Como , a propriedade vale para
.
Verificamos diretamente se
No lado esquerdo temos
No lado direito temos
Como
Passo 3
Hipótese de indução:
Suponha que, para algum , já seja verdade que
Suponha que, para algum
Essa suposição é o que chamamos de hipótese indutiva. Agora a gente vai usar isso para provar o caso
.
Passo 4
Passo indutivo (provar para
):
Queremos mostrar
Queremos mostrar
Começamos expandindo o quadrado:
Pela hipótese de indução temos
. Então, somando
em ambos os lados:
Logo
Agora comparamos
com
.
Note que, para ,
Note que, para
ou seja,
. Portanto
Isso fecha o passo indutivo.
Resposta
Pela base de indução em
e pelo passo indutivo, concluímos que
vale para todo
.