Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
l y^prime=4-2 x y(0)=2
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo x in[a, b]=[0,2] usando 8 subintervalos.
a) Obtenha essa solução aproximada através do Método de Euler.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o enunciado pede. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI):
y' = 4 - 2x, y(0)=2,
no intervalo , e queremos uma solução aproximada usando o Método de Euler com 8 subintervalos.
Conteúdo: métodos numéricos (Euler explícito).
O que vamos precisar:
  • calcular o tamanho do passo ,
  • definir os pontos ,
  • usar a fórmula de Euler ,
  • iterar até .

Passo 2

Primeiro calculamos o tamanho do passo:
h = b-aN = 2-08 = 0.25
E definimos os pontos da malha:
xk = a + k,h = 0 + kcdot0.25, k=0,1,dots,8

Passo 3

O Método de Euler explícito aproxima a derivada yk+1 ;=; yk ;+; h,f(xk,yk), por um quociente de diferenças. A fórmula é
onde aqui . Começamos com em .

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula passo a passo. Vou mostrar o cálculo de cada y1 = 2 + 0.25cdot4 = 2 + 1 = 3 :
k=0:
y2 = 3 + 0.25cdot3.5 = 3 + 0.875 = 3.875
y3 = 3.875 + 0.25cdot3 = 3.875 + 0.75 = 4.625
y4 = 4.625 + 0.25cdot2.5 = 4.625 + 0.625 = 5.25
k=1:
y5 = 5.25 + 0.25cdot2 = 5.25 + 0.5 = 5.75
y6 = 5.75 + 0.25cdot1.5 = 5.75 + 0.375 = 6.125
y7 = 6.125 + 0.25cdot1 = 6.125 + 0.25 = 6.375
k=2:
y8 = 6.375 + 0.25cdot0.5 = 6.375 + 0.125 = 6.5
k=3:

k=4:

k=5:

k=6:

k=7:

Resposta

A solução aproximada pelo Método de Euler em y0 &= 2.000, y1 &= 3.000, y2 &= 3.875, y3 &= 4.625, y4 &= 5.250, y5 &= 5.750, y6 &= 6.125, y7 &= 6.375, y8 &= 6.500 é:

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