O problema de valor inicial
l y^prime=-y y(0)=1
tem como única solução exata y(x)=e^-x.
Encontre uma solução aproximada usando o Método de Euler com n=4 subintervalos.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o problema de valor inicial
y'=-y, y(0)=1,
cuja solução exata é yk+1 = yk + h,f(xk,yk) . A tarefa é achar uma solução aproximada usando o Método de Euler com subintervalos.
Conteúdo: Equações diferenciais ordinárias e Método de Euler.
O que vamos precisar:
  1. Determinar o tamanho do passo .
  2. Usar a fórmula de Euler onde aqui .

Passo 2

Primeiro, escolhemos o intervalo de integração. Como o problema não especifica outro, vamos de h = 1-04 = 14 até .
O número de subintervalos é , então o passo é
Os pontos serão , , , e .

Passo 3

Agora aplicamos o Método de Euler. A regra geral é
yk+1 = yk + h,f(xk,yk),
e aqui yk+1 = yk + h,(-yk) = yk,(1 - h) . Então a fórmula vira
Só precisamos ir repetindo isso começando de .

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  • y1 = y0,(1-h) = 1l(1-tfrac14r) = tfrac34 = 0,75 :
    y2 = y1,(1-h) = 0,75l(1-tfrac14r) = 0,75cdottfrac34 = tfrac916 = 0,5625 .
  • y3 = y2,(1-h) = 0,5625cdottfrac34 = tfrac2764 = 0,421875 : y4 = y3,(1-h) = 0,421875cdottfrac34 = tfrac81256approx 0,31640625
  • :
  • :
  • :

Resposta

A solução aproximada pelo Método de Euler com c|ccccc xk & 0 & 0,25 & 0,50 & 0,75 & 1hline yk & 1 & 0,75 & 0,5625 & 0,421875 & 0,31640625 é dada nos pontos
y(1)approx y4 approx 0,3164
Em especial, em obtemos

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