Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
l y^prime=4-2 x y(0)=2
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo x in[a, b]=[0,2] usando 8 subintervalos.
Obtenha agora essa solução aproximada usando o Método de Taylor de 2^ a ordem.

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado pede pra gente resolver, de forma numérica, o Problema de Valor Inicial
y' = 4 - 2x, y(0)=2, xin[0,2],
usando 8 subintervalos e o Método de Taylor de 2ª ordem.
O assunto aqui é Métodos Numéricos para EDOs, e o que vamos precisar é:
  1. a definição da função f(x,y)=y',
  2. suas derivadas parciais pra montar a expansão de Taylor de 2ª ordem,
  3. o passo h=(b-a)/N,
  4. e aplicar a fórmula iterativamente.

Passo 2

Primeiro, identificamos
f(x,y)=4-2x
Para o Método de Taylor de 2ª ordem precisamos de
$$f_x=\frac{\partial}{\partial x}(4-2x)=-2,
\qquad
f_y=\frac{\partial}{\partial y}(4-2x)=0. fx=partialpartial x(4-2x)=-2, fy=partialpartial y(4-2x)=0ééy’’ = f_x + f_y,f = -2 + 0\cdot(4-2x) = -2.$$

Passo 3

A fórmula geral do Método de Taylor de 2ª ordem é
yn+1 ;=; yn ;+; h,f(xn,yn);+;h^22,l(fx(xn,yn)+fy(xn,yn),f(xn,yn)r)
Como fy=0, isso vira
yn+1 = yn + h,(4-2xn) + h^22,(-2)

Passo 4

O passo é
h=b-aN=2-08=0.25
E como tfrach^22=tfrac0.25^22=0.03125, temos a fórmula simplificada:
yn+1 = yn + 0.25,(4-2xn) - 0.0625

Passo 5

Agora é só iterar de n=0 a 8. A gente começa com
x0=0, y0=2,
e para cada passo:
1) calcula xn+1=xn+0.25,
2) aplica a fórmula acima.
Fazendo isso, dá na prática:
n=0: (x0,y0)=(0,2)
n=1: y1=2+0.25cdot4-0.0625=2.9375,; x1=0.25
n=2: y2=2.9375+0.25cdot3.5-0.0625=3.75,; x2=0.5
n=3: y3=3.75+0.25cdot3-0.0625=4.4375,; x3=0.75
n=4: y4=4.4375+0.25cdot2.5-0.0625=5.0,; x4=1.0
n=5: y5=5.0+0.25cdot2-0.0625=5.4375,; x5=1.25
n=6: y6=5.4375+0.25cdot1.5-0.0625=5.75,; x6=1.5
n=7: y7=5.75+0.25cdot1-0.0625=5.9375,; x7=1.75
n=8: y8=5.9375+0.25cdot0.5-0.0625=6.0,; x8=2.0

Resposta

A solução aproximada nos nós xn=0,0.25,dots,2 é
y(0.00)&=2.0000, y(0.25)&=2.9375, y(0.50)&=3.7500, y(0.75)&=4.4375, y(1.00)&=5.0000, y(1.25)&=5.4375, y(1.50)&=5.7500, y(1.75)&=5.9375, y(2.00)&=6.0000

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