Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo
usando 8 subintervalos.
Obtenha agora essa solução aproximada usando o Método de Taylor de
ordem.
Obtenha agora essa solução aproximada usando o Método de Taylor de
Passo 1
Beleza, vamos lá: o enunciado pede pra gente resolver, de forma numérica, o Problema de Valor Inicial
usando 8 subintervalos e o Método de Taylor de 2ª ordem.
O assunto aqui é Métodos Numéricos para EDOs, e o que vamos precisar é:
O assunto aqui é Métodos Numéricos para EDOs, e o que vamos precisar é:
- a definição da função
, - suas derivadas parciais pra montar a expansão de Taylor de 2ª ordem,
- o passo
, - e aplicar a fórmula iterativamente.
Passo 2
Primeiro, identificamos
Para o Método de Taylor de 2ª ordem precisamos de
$$f_x=\frac{\partial}{\partial x}(4-2x)=-2,
\qquad
f_y=\frac{\partial}{\partial y}(4-2x)=0.
y’’ = f_x + f_y,f = -2 + 0\cdot(4-2x) = -2.$$
Passo 3
A fórmula geral do Método de Taylor de 2ª ordem é
Como
, isso vira
Passo 4
O passo é
E como
, temos a fórmula simplificada:
Passo 5
Agora é só iterar de
a
. A gente começa com
e para cada passo:
1) calcula
2) aplica a fórmula acima.
Fazendo isso, dá na prática:
n=0:
n=1:
n=2:
n=3:
n=4:
n=5:
n=6:
n=7:
n=8:
Resposta
A solução aproximada nos nós
é