O problema de valor inicial
l y^prime=-y y(0)=1
tem como única solução exata y(x)=e^-x.
Encontre uma solução aproximada usando o Método de Taylor de ordem com n=4 subintervalos.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a EDO
y' = -y, y(0) = 1,
cuja solução exata é . O que pedem é aproximar essa solução usando o Método de Taylor de ordem 4, dividindo o intervalo em subintervalos.
Conteúdo: Método de Taylor para EDOs (expansão de Taylor até a 4ª ordem).
O que vamos precisar: passo , derivadas e a fórmula de Taylor de ordem 4.

Passo 2

O intervalo é de h = 1-04 = tfrac14 até e temos subintervalos, então

Passo 3

Calculamos as derivadas de y' = -y, y'' = ddx(-y) = -y' = -(-y)=y, sabendo que y''' = ddx(y)=y'=-y, y^(4) = ddx(-y) = -y' = -(-y)=y :
Em resumo, .

Passo 4

A fórmula do Método de Taylor de ordem 4 é
yi+1 = yi + h,y'i + tfrach^22,y''i + tfrach^36,y'''i + tfrach^424,y^(4)i,
todas as derivadas avaliadas em .

Passo 5

Substituindo yi+1 = yil(1 - h + tfrach^22 - tfrach^36 + tfrach^424r) , A = 1 - h + tfrach^22 - tfrach^36 + tfrach^424, , A = 1 - tfrac14 + (tfrac14)^22 - (tfrac14)^36 + (tfrac14)^424 approx 0,7788085937 , , obtemos
Chamando esse coeficiente de
e usando , temos

Passo 6

Agora iteramos de y0 &= 1, y1 &= A,y0 approx 0,7788085937, y2 &= A,y1 approx 0,6065306597, y3 &= A,y2 approx 0,4723665527, y4 &= A,y3 approx 0,3678794643 até :

Resposta

A solução aproximada nos pontos y(0)=1, y(0,25)approx0,7788086, y(0,50)approx0,6065307, y(0,75)approx0,4723666, y(1)approx0,3678795 é

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