Considere o seguinte Problema de Valor Inicial
l y^prime=4-2 x y(0)=2
para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo x in[a, b]=[0,2] usando 8 subintervalos.
Sabendo-se que a solução analítica é dada por y(x)=-x^2+4 x+2, preencha a tabela a seguir
xk yk <br> (Euler) yk <br> (Taylor 2a ordem) y(xk) <br> Valor Exato Erro <br> (Euler) Erro <br> (Taylor 2a Ordem)

Passo 1

Beleza! Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que diz
y' = 4 - 2x, y(0) = 2,
e sabemos que a solução exata é
y(x) = -x^2 + 4x + 2
O que a gente vai fazer é aproximar essa solução no intervalo dividindo em subintervalos (ou seja, passo ) e usar dois métodos numéricos:
  1. Método de Euler (ordem 1)
  2. Método de Taylor de 2ª ordem
Para isso, precisamos:
  • Saber a função .
  • Calcular o passo .
  • Ter a fórmula de cada método para atualizar .
  • Montar a tabela com , aproximações, valor exato e erros.

Passo 2

Primeiro, definimos:
xk = 0 + k,h, k=0,1,dots,8, h = 0.25
A solução exata é
yrm ex(xk) = -xk^2 + 4xk + 2
A derivada yk+1^(E) ;=; yk^(E) ;+; h,f(xk,yk^(E)) só depende de .
Método de Euler (ordem 1):

Passo 3

Vamos calcular passo a passo.
  • Inicialmente: , .
  • Para cada k:
    1. Avalio .
    2. Faço .
Isso nos dá, coluna a coluna:
k
0 0.00 4.0
1 0.25 3.5
2 0.50 3.0
… e assim vai até o k=7, chegando em .

Passo 4

Método de Taylor de 2ª ordem:
A expansão de Taylor até 2ª ordem dá
yk+1 = yk + h,f(xk,yk) + h^22,y''(xk),
onde yk+1^(T2) = yk^(T2) + 0.25,(4-2xk) + 0.25^22,(-2) = yk^(T2) + 0.25,fk - 0.0625 .
Logo
Fazemos a mesma lógica iterativa, começando em .

Passo 5

Depois de gerar ambas as sequências Erro (Eu<=r) = l|yrm ex(xk) - yk^(E)r|, Erro (T2) = l|yrm ex(xk) - yk^(T2)r| e , calculamos o valor exato e os erros
Surpresa: como a solução exata é um polinômio de grau 2, o método de Taylor de 2ª ordem acerta exatamente todos os pontos, dando erro zero em cada .

Resposta

Segue a tabela completa ( ):
(Euler) (Taylor 2ª ordem) Exato Erro (Euler) Erro (T2)
0.00 2.0000 2.0000 2.0000 0.0000 0.0000
0.25 3.0000 2.9375 2.9375 0.0625 0.0000
0.50 3.8750 3.7500 3.7500 0.1250 0.0000
0.75 4.6250 4.4375 4.4375 0.1875 0.0000
1.00 5.2500 5.0000 5.0000 0.2500 0.0000
1.25 5.7500 5.4375 5.4375 0.3125 0.0000
1.50 6.1250 5.7500 5.7500 0.3750 0.0000
1.75 6.3750 5.9375 5.9375 0.4375 0.0000
2.00 6.5000 6.0000 6.0000 0.5000 0.0000

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