para o qual buscamos uma solução numérica aproximada no intervalo usando 8 subintervalos.
Sabendo-se que a solução analítica é dada por , preencha a tabela a seguir
<br> (Euler)
<br> (Taylor 2a ordem)
<br> Valor Exato
Erro <br> (Euler)
Erro <br> (Taylor 2a Ordem)
Passo 1
Beleza! Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que diz
e sabemos que a solução exata é
O que a gente vai fazer é aproximar essa solução no intervalo dividindo em subintervalos (ou seja, passo ) e usar dois métodos numéricos:
Método de Euler (ordem 1)
Método de Taylor de 2ª ordem
Para isso, precisamos:
Saber a função .
Calcular o passo .
Ter a fórmula de cada método para atualizar .
Montar a tabela com , aproximações, valor exato e erros.
Passo 2
Primeiro, definimos:
A solução exata é
A derivada só depende de .
Método de Euler (ordem 1):
Passo 3
Vamos calcular passo a passo.
Inicialmente: , .
Para cada k:
Avalio .
Faço .
Isso nos dá, coluna a coluna:
k
0
0.00
4.0
1
0.25
3.5
2
0.50
3.0
… e assim vai até o k=7, chegando em .
Passo 4
Método de Taylor de 2ª ordem:
A expansão de Taylor até 2ª ordem dá
onde .
Logo
Fazemos a mesma lógica iterativa, começando em .
Passo 5
Depois de gerar ambas as sequências e , calculamos o valor exato e os erros
Surpresa: como a solução exata é um polinômio de grau 2, o método de Taylor de 2ª ordem acerta exatamente todos os pontos, dando erro zero em cada .