Considere o seguinte sistema de equações, que modela um oscilador harmônico:
(a) Mostre que (que dá a energia do oscilador harmônico) tem .
(b) O que acontece com se eu fizer um passo do método de Euler com . Como isso muda se eu fizer passos (com o mesmo tamanho para cada passo).
(c) Repita a letra anterior, porém com o método de Euler melhorado:
Passo 1
O enunciado dá o sistema
dot x = y, dot y = -,x
que é o oscilador harmônico, e define a energia
E = x^2 + y^2
(a) Precisamos mostrar que dot E=0.
(b) Depois, aplicar um passo do método de Euler explícito com passo De<a t = h e ver como isso altera E, e em seguida repetir para n passos iguais.
(c) Repetir (b) mas usando o método de Euler melhorado (Heun).
Passo 2
Para a parte (a) calculamos
dot E = ddt(x^2+y^2) = 2x,dot x + 2y,dot y
Substituindo dot x=y e dot y=-x,
dot E = 2x,y + 2y,(-x) = 2xy - 2xy = 0
Ou seja, a energia é exatamente conservada no sistema contínuo.
Após um passo, E fica multiplicada por (1+h^2). Para n passos iguais,
En = (1 + h^2)^n,E0
Passo 4
Para a parte (c) aplicamos o método de Euler melhorado (Heun) ao vetor
Isso dá, após simplificar,
Calcular cresce pelo fator e, após passos,
Resposta
(a) dot E=0.
(b) Após um passo de Euler explícito, E1=(1+h^2)E0 e, em n passos, En=(1+h^2)^nE0.
(c) Com Euler melhorado, E1=(1+h^4/4)E0 e En=(1+h^4/4)^nE0.