Considere o seguinte sistema de equações, que modela um oscilador harmônico:
l dotx=y doty=-x
(a) Mostre que E=x^2+y^2 (que dá a energia do oscilador harmônico) tem dotE=0.
(b) O que acontece com E se eu fizer um passo do método de Euler com De<a t=h. Como isso muda se eu fizer n passos (com o mesmo tamanho para cada passo).
(c) Repita a letra anterior, porém com o método de Euler melhorado:
l k1=f(x) k2=f(x+h k1) x^prime=x+h(k1+k22)

Passo 1

O enunciado dá o sistema
dot x = y, dot y = -,x
que é o oscilador harmônico, e define a energia
E = x^2 + y^2
(a) Precisamos mostrar que dot E=0.
(b) Depois, aplicar um passo do método de Euler explícito com passo De<a t = h e ver como isso altera E, e em seguida repetir para n passos iguais.
(c) Repetir (b) mas usando o método de Euler melhorado (Heun).

Passo 2

Para a parte (a) calculamos
dot E = ddt(x^2+y^2) = 2x,dot x + 2y,dot y
Substituindo dot x=y e dot y=-x,
dot E = 2x,y + 2y,(-x) = 2xy - 2xy = 0
Ou seja, a energia é exatamente conservada no sistema contínuo.

Passo 3

Para a parte (b) usamos Euler explícito:
xn+1 = xn + h,yn, yn+1 = yn - h,xn
Então
En+1 = xn+1^2 + yn+1^2 = (xn + h,yn)^2 + (yn - h,xn)^2 = (1 + h^2),(xn^2+yn^2) = (1 + h^2),En
Após um passo, E fica multiplicada por (1+h^2). Para n passos iguais,
En = (1 + h^2)^n,E0

Passo 4

Para a parte (c) aplicamos o método de Euler melhorado (Heun) ao vetor
Isso dá, após simplificar,
Calcular cresce pelo fator e, após passos,

Resposta

(a) dot E=0.
(b) Após um passo de Euler explícito, E1=(1+h^2)E0 e, em n passos, En=(1+h^2)^nE0.
(c) Com Euler melhorado, E1=(1+h^4/4)E0 e En=(1+h^4/4)^nE0.

Exercícios relacionados