Considere o seguinte PVI
y^prime=e^-t sen(y^2) & Número de passos: n p=2 y(1)=2 & Número de casas decimais: 5 úú
Obtenha uma aproximação para y(1.5) utilizando
(a) Método da Série de Taylor de 2 Ordem;
(b) Método da Série de Taylor de 3^ a Ordem;
© Método da Série de Taylor de 4^ a Ordem;
e calcule o erro dessas aproximações, sendo a solução exata dada por 1.9106250241 .

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos o PVI
y' = e^-tsinl(y^2r), [6pt] y(1)=2,
e queremos aproximar y(t+h)=y(t)+h,y'(t)+h^22y''(t)+h^36y'''(t)+h^424y''''(t)+cdots usando os métodos de Série de Taylor de ordem 2, 3 e 4, dando 2 passos de tamanho . A solução “exata” é , e vamos calcular também o erro de cada aproximação. Para isso, precisamos lembrar a expansão de Taylor para EDOs:
Vamos precisar calcular em cada nó.

Passo 2

Método de Taylor de 2ª ordem (mantemos até y'0 = f(1,2)=e^-1sin(4)approx -0.27865, )
  1. Derivadas em y'' = ddtl(e^-tsin(y^2)r) = -e^-tsin(y^2)+2y,e^-2tsin(y^2)cos(y^2), : y''0approx 0.54619 y1 = 2 +0.25,( -0.27865 ) + 0.25^22(0.54619) approx 1.94742 então em y'1approx -0.17160, y''1approx 0.32495 y2 = 1.94742 +0.25,( -0.17160 ) + 0.25^22(0.32495) approx 1.91467
  2. Primeiro passo :
  3. Derivadas em :
  4. Segundo passo :
Erro: .

Passo 3

Método de Taylor de 3ª ordem (mantemos até y'''(t)=ddtl(y''(t)r), )
  1. Já temos y'''0approx -1.03116 . Falta
y1 = 2 +0.25(-0.27865)+tfrac0.25^22(0.54619) +tfrac0.25^36(-1.03116) approx 1.94473
que após derivar dá em y'1approx -0.17133,; y''1approx 0.32446,; y'''1approx -0.70401 :
y2 = 1.94473 +0.25(-0.17133)+tfrac0.25^22(0.32446) +tfrac0.25^36(-0.70401) approx 1.91021
  1. Primeiro passo 3ª ordem:
  1. Calcular em :
  1. Segundo passo 3ª ordem:
Erro: .

Passo 4

Método de Taylor de 4ª ordem (mantemos até y''''(t)=ddtl(y'''(t)r) )
  1. Além de y''''0approx 2.312, y''''1approx 1.024 , precisamos de
y1 = 2 +0.25(-0.27865) +tfrac0.25^22(0.54619) +tfrac0.25^36(-1.03116) +tfrac0.25^424(2.312) approx 1.94505
Fazendo a conta (bem trabalhosa) obtemos em y2 = 1.94505 +0.25(-0.17133) +tfrac0.25^22(0.32446) +tfrac0.25^36(-0.70401) +tfrac0.25^424(1.024) approx 1.91063 e :
  1. Passo :
  1. Passo :
Erro: .

Resposta

(a) Taylor 2ª ordem: , erro ≈ 0.00405
(b) Taylor 3ª ordem: , erro ≈ 0.00042
© Taylor 4ª ordem: , erro ≈ 0.00001

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