Considere o seguinte PVI
Obtenha uma aproximação para
utilizando
(a) Método da Série de Taylor de 2 Ordem;
(b) Método da Série de Taylor de
Ordem;
© Método da Série de Taylor de
Ordem;
e calcule o erro dessas aproximações, sendo a solução exata dada por 1.9106250241 .
(a) Método da Série de Taylor de 2 Ordem;
(b) Método da Série de Taylor de
© Método da Série de Taylor de
e calcule o erro dessas aproximações, sendo a solução exata dada por 1.9106250241 .
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos o PVI
e queremos aproximar
usando os métodos de Série de Taylor de ordem 2, 3 e 4, dando 2 passos de tamanho
. A solução “exata” é
, e vamos calcular também o erro de cada aproximação. Para isso, precisamos lembrar a expansão de Taylor para EDOs:
Vamos precisar calcular
em cada nó.
Passo 2
Método de Taylor de 2ª ordem (mantemos até
)
- Derivadas em
: então em dá - Primeiro passo
: - Derivadas em
: - Segundo passo
:
Erro:
.
Passo 3
Método de Taylor de 3ª ordem (mantemos até
)
- Já temos
. Falta
que após derivar dá em
:
- Primeiro passo 3ª ordem:
- Calcular
em :
- Segundo passo 3ª ordem:
Erro:
.
Passo 4
Método de Taylor de 4ª ordem (mantemos até
)
- Além de
, precisamos de
Fazendo a conta (bem trabalhosa) obtemos em
e
:
- Passo
:
- Passo
:
Erro:
.
Resposta
(a) Taylor 2ª ordem:
, erro ≈ 0.00405
(b) Taylor 3ª ordem: , erro ≈ 0.00042
© Taylor 4ª ordem: , erro ≈ 0.00001
(b) Taylor 3ª ordem:
© Taylor 4ª ordem: