Qual é a principal vantagem dos Métodos de Runge- Kutta em relação aos Métodos da Série de Taylor para uma mesma ordem de precisão? Explique com detalhes e dê exemplos.

Passo 1

Então, o exercício tá perguntando qual é a principal vantagem dos Métodos de Runge–Kutta sobre os Métodos da Série de Taylor, mantendo a mesma ordem de precisão. Isso é parte de Numéricos para Equações Diferenciais (EDOs). Pra resolver, a gente vai precisar lembrar como cada método gera aprox. de solução: Taylor expande em série e exige derivadas de ordem alta, enquanto Runge–Kutta faz combinações de só com avaliações da função.

Passo 2

Primeiro, vê como funciona o Método da Série de Taylor. A ideia é usar a expansão em torno de y(tn+1) = y(tn) + hy'(tn) + h^22!y''(tn) + cdots + h^pp!y^(p)(tn) + O(h^p+1) :
Para chegar a ordem , você precisa calcular todas as derivadas . E cada derivada exige, via a EDO , expressar derivadas de (tipo , etc). Isso fica bem trabalhoso quando cresce ou se é complicado.

Passo 3

Agora, o Método de Runge–Kutta de ordem 4 (por exemplo) faz assim:
k1 &= f(tn, yn), k2 &= fl(tn + tfrac h2,;yn + tfrac h2,k1r), k3 &= fl(tn + tfrac h2,;yn + tfrac h2,k2r), k4 &= fl(tn + h,;yn + h,k3r), yn+1 &= yn + tfrac h6,(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)
Repara que ele só usa várias avaliações de , mas não precisa de nem de , , etc. A ordem de precisão é 4, igual ao Taylor de 4ª ordem, mas sem a complicação de calcular derivadas parciais.

Passo 4

Comparando na prática:
  • Se for feio (por ex., ), achar dá trabalho.
  • No RK4, você só põe essa funçãona rotina 4 vezes e combina.
  • O custo computacional só cresce com o número de “k’s”, não com a complexidade de derivação simbólica.
  • Além disso, é fácil implementar genericamente um RK de ordem usando tabelas de coeficientes (as chamadas tabelas de Butcher), sem tocar em cálculo simbólico.

Resposta

A principal vantagem é que, para a mesma ordem de precisão , os Métodos de Runge–Kutta não exigem o cálculo explícito de derivadas de (como ), usando apenas várias avaliações de . Isso simplifica muito a implementação e evita a proliferação de expressões complexas, enquanto mantém o mesmo erro de truncamento local de ordem .

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