Obtenha uma aproximação para o PVI
1g d^2 hd t^2-Tw+1+4w(d hd t)^2=0
em t=1.5, sendo g=9.8, T=50, w=2, h(1)=2 e h^prime(1)=0.5. Utilize o Método de Euler Modificado considerando n p=2. Trabalhe com 5 casas decimais.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente aproximar a solução do problema de valor inicial
1g,d^2hdt^2 ;-;Tw ;+;1;+;4wl(dhdtr)^2=0,
com
, , , e ,
avaliando em usando o Método de Euler Modificado com subintervalos.
Conteúdo:
  1. Converter EDO de 2ª ordem em sistema de 1ª ordem.
  2. Aplicar o esquema de Euler Modificado (Heun) em cada passo.
  3. Trabalhar com passo e 5 casas decimais.

Passo 2

Primeiro, definimos as variáveis
y1(t)=h(t), y2(t)=h'(t),
de modo que o sistema fica
y1' = f1(t,y1,y2) = y2, y2' = f2(t,y1,y2) = gl(tfracTw-1-tfrac4wy2^2r) =9.8,(24 -2,y2^2) =235.2 -19.6,y2^2
Condições iniciais: , .
Passo de integração: .
O Método de Euler Modificado em cada passo faz:
  1. Predictor: .
  2. Avaliar em .
  3. Corrector:

Passo 3

Dados iniciais:
y1^0=2.00000, y2^0=0.50000
  1. Predictor:
tilde y1 = 2.00000 +0.25,(0.50000)=2.12500, tilde y2 = 0.50000 +0.25,(235.2 -19.6cdot0.5^2) =0.50000 +0.25,(230.3) =58.07500
  1. Avaliamos as derivadas em f1(t1,tilde y)=58.07500, f2(t1,tilde y)=235.2 -19.6,(58.07500)^2approx -6.58698times10^4 :
y1^1 = 2.00000 +tfrac0.252l(0.50000+58.07500r) =9.32188,
  1. Corrector:
y2^1 = 0.50000 +tfrac0.252l(230.3 +(-65869.83125)r) approx -8204.44141

Passo 4

Usamos tilde y1 =9.32188 +0.25,(-8204.44141) approx -2041.78848, .
  1. Predictor:
f2(t1,y^1)=235.2 -19.6,( -8204.44141)^2 approx -1.31933times10^9,
tilde y2 = -8204.44141 +0.25,(-1.31933times10^9) approx -3.29841times10^8
f1(t2,tilde y)=tilde y2approx -3.29841times10^8, f2(t2,tilde y)=235.2-19.6,(tilde y2)^2approx -2.13104times10^18
  1. Avaliamos em y1^2 =9.32188 +tfrac0.252l(-8204.44141 +(-3.29841times10^8)r) approx -4.12312times10^7, :
y2^2 =-8204.44141 +tfrac0.252l(-1.31933times10^9 +(-2.13104times10^18)r) approx -2.66381times10^17
  1. Corrector final:

Resposta

A aproximação pelo Método de Euler Modificado com boxedh(1.5)approx -4.12312times10^7, h'(1.5)approx -2.66381times10^17 é
(ambos com 5 casas decimais na mantissa)

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