Considere o seguinte PVI
Use o método de Euler para calcular o valor de cos x y^prime+y^2 & =1 y(1) & =1 com y(1,5) e h=0,5.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos o PVI
cos x,y'(x) + y(x)^2 = 1, y(1)=1,
e queremos usar o método de Euler para achar uma aproximação de yn+1=yn + h,f(xn,yn) com dois tamanhos de passo: e .
Conteúdo: método de Euler (um método numérico pra aproximar soluções de ODEs).
O que precisamos:
  1. Isolar e definir .
  2. Aplicar a fórmula de Euler
para cada passo até chegarmos em .

Passo 2

Primeiro, vamos isolar cos x,y' + y^2 = 1 . Da equação
y' = 1 - y^2cos x
subtraímos f(x,y) = 1 - y^2cos x e dividimos por y(x+h) approx y(x) + h,y'(x) Longrightarrow yn+1=yn + h,f(xn,yn) :
Então definimos
O método de Euler usa a ideia de que, em um pequeno passo ,

Passo 3

Nosso ponto inicial é f(1,1) = 1 - 1^2cos(1) = 0cos(1) = 0 , y1 = y0 + 0.5 cdot f(1,1) = 1 + 0.5cdot 0 = 1 . Queremos pular direto para .
Calcular :
Aplicando Euler:
Então, com , a aproximação é .

Passo 4

Agora vamos de f(xn,1)=1-1^2cos(xn)=0 até yn+1 = yn + 0.1cdot 0 = 1 em 5 passos de tamanho 0.1:
Para qualquer passo , se então
e assim
Ou seja, em cada um dos 5 passos continua valendo 1.

Resposta

Com o método de Euler, tanto para y(1.5) quanto para boxed1 , a aproximação de
fica

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