Use integração numérica para calcular com precisão inferior a 10^-8 o valor de:
ln 100

Passo 1

Beleza, o que a gente precisa aqui é calcular
ln 100
usando integração numérica com erro menor que .
Conteúdo: regra composta de Simpson e estimativa de erro.
O que vamos precisar:
  1. Expressar como integral.
  2. Aplicar a regra de Simpson composta.
  3. Fazer a estimativa de quantos subintervalos precisamos pra garantir o erro < .

Passo 2

Primeiro, reescrevemos
ln 100 ;=;integral1^1001t,dt
A regra composta de Simpson diz que, se dividirmos h=100-1n=99n, em integral1^1001t,dt approx h3l(f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+4f(x3)+cdots+4f(xn-1)+f(xn)r), subintervalos iguais de largura
com par, então
onde e .

Passo 3

Agora, a gente quer garantir erro menor que l|ESr|<= (b-a)180,h^4maxtin[a,b]l|f^(4)(t)r| . A estimativa de erro da regra de Simpson é
f(t)=1t Longrightarrow f^(4)(t)=24t^5
Aqui |ES|<= 100-1180,h^4cdot24 =99cdot24180,h^4 =215,99,h^4 , |ES|<= 215cdot99l(99nr)^4 =2cdot99^515,n^4 e
n>rsim 18863,
No intervalo o máximo de ocorre em , valendo .
Então
Como ,
Queremos .
Fazendo as contas (ou usando uma calculadora), a gente encontra
e como tem que ser par, escolhemos .

Passo 4

Então:
  • integral1^1001tdt approx h3l(f(x0)+4!!sumk=1,3,5,dots^n-1f(xk) +2!!sumk=2,4,6,dots^n-2f(xk)+f(xn)r) (número de subintervalos, par)
E aplicamos

Passo 5

Na prática, somamos em um programa ou planilha:
  1. Gera de a .
  2. Soma .
  3. Soma com peso 4 os de ímpar.
  4. Soma com peso 2 os de par (exceto 0 e ).
  5. Multiplica tudo por .
Fazendo isso com dá um valor com erro abaixo de .

Resposta

ln 100 approx 4.605170185988092

Exercícios relacionados