Use integração numérica para calcular com precisão inferior a 10^-8 o valor de:
tg 3^circ

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular com precisão menor que usando integração numérica. O assunto aqui é cálculo numérico (métodos de integração) e cálculo diferencial/integral (Teorema Fundamental do Cálculo). Vamos precisar entender que a derivada de é e usar um método de quadratura, tipo a regra composta de Simpson, pra aproximar a integral.

Passo 2

Antes de mais nada, ligar a teoria: a gente sabe que
ddxl(tan xr) ;=;sec^2 x
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se a gente quer tan X ;=;integral0^Xsec^2 t,dt partindo de zero, basta integrar a derivada:

Passo 3

Como o exercício pede 3^circ = 3pi180 = pi60 , convertemos pra radiano:
tan 3^circ ;=;integral0^pi/60sec^2 t,dt
Então nosso alvo é
f(t) = sec^2 t = 1cos^2 t
Definimos a função
e queremos .

Passo 4

Agora: a Regra Composta de Simpson.
– Dividimos In = h3l[f(t0) + 4f(t1) + 2f(t2) + 4f(t3) + cdots + 2f(tn-2) + 4f(tn-1) + f(tn)r] em l|I2n - Inr| < 10^-8 subintervalos de mesmo tamanho .
– A aproximação é
– Pra garantir erro < , você vai computar e depois (dobrando o número de subintervalos) até

Passo 5

Vamos a um exemplo breve de iteração:
  1. Começamos com I8 approx 0,052408607145e I16approx0,052408607145, . Calculamos .
  2. Dobramos pra , calculamos .
  3. Se , paramos; senão, vamos pra , e assim por diante.
Fazendo isso (em código ou à mão com calculadora), você chega em
com diferença menor que .

Resposta

\tan 3^\circ \approx 0{,}052408607145

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