Encontre os coeficientes a, b e c tais que a função y(x)=a P0(x)+b P1(x)+c P2(x) minimize a norma |f-y| definida pelo produto interno lang<= g, hrang<==integral-1^1 g(x) h(x) d x. Em seguida, forneça uma aproximação numérica para o valor de y(0.5).
ertogonal em relação ao produto interno.
Resposta: a=
b=
y(0.5) approx

c=

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui? Precisamos aproximar uma função qualquer y(x)=a,P0(x)+b,P1(x)+c,P2(x) pelo polinômio
P0(x)=1, P1(x)=x, P2(x)=tfrac12,(3x^2-1)
onde
são os dois primeiros polinômios de Legendre, que são ortogonais no intervalo com o produto interno
.
O objetivo é escolher de modo que seja mínimo (ou seja, projetar nesse subespaço).
Para isso vamos usar a teoria de projeção em base ortogonal.

Passo 2

Teoria básica de projeção ortogonal:
Se alphan = é um sistema ortogonal, o coeficiente de projeção de y(x)=sumn=0^2 alphan,Pn(x) sobre ,, é
e a aproximação ótima é
,,
Então basta calcular os produtos internos
e as normas

Passo 3

  1. Normas dos =integral-1^1 1cdot1,dx = 2, =integral-1^1 x^2,dx = tfrac23, =integral-1^1!l(tfrac3x^2-12r)^2dx = tfrac25 :
  1. Produtos internos com =integral-1^1 f(x),dx, =integral-1^1 x,f(x),dx, =integral-1^1 tfrac3x^2-12,f(x),dx :
  1. Coeficientes:

Passo 4

Agora, para encontrar y(x)=acdot1 ;+; bcdot x ;+; ccdot3x^2-12 , basta pôr y(0.5)=a + b,(0.5) + c,3,(0.5)^2-12 = a + b2 + c,3cdot0.25-12 = a + b2 + ccdotl(-tfrac14r) em
logo
Se você já tiver calculado numericamente as integrais acima, é só substituir nesses e fazer as contas.

Resposta

a =
b =
c =
y(0.5) ≈ .

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