Considere o seguinte sistema de equações lineares:
\begin{cases}8 x_{1}+2 x_{2}-3 x_{3} & =10 \\\\ -2 x_{1}+k x_{2}+2 x_{3} & =5 \\\\ -x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3} & =7\end{cases}
(a) Determine o menor valor inteiro positivo de k para o qual o sistema acima terá convergência garantida quando resolvido pelo método de Jacobi.
(b) Partindo do vetor nulo e utilizando k=10, resolva o sistema pelo método de Jacobi com erro relativo e<0.1, ou no máximo 3 iterações.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 8x_{1}+2x_{2}-3x_{3}=10,\\[4pt] -2x_{1}+k x_{2}+2x_{3}=5,\\[4pt] - x_{1}+3x_{2}+6x_{3}=7, \end{cases}
e pede duas coisas:
(a) Determinar o menor valor inteiro positivo de k para o qual a convergência do método de Jacobi é garantida.
(b) Usando k=10 e começando do vetor nulo, aplicar o método de Jacobi até obter erro relativo e<0,1 (ou, se não ocorrer antes, parar após no máximo 3 iterações) e apresentar a solução aproximada obtida.
As informações relevantes que temos são as três equações acima e o valor k=10 para a parte (b). Vou trabalhar com a forma iterativa do método de Jacobi e com um critério de convergência baseado na dominância diagonal (que garante convergência) e, para o cálculo do erro relativo nas iterações, vou usar a norma infinito (máximo absoluto entre componentes): se x^{(n)} e x^{(n+1)} são vetores iterados, o erro relativo será tomado como
e=\frac{\|x^{(n+1)}-x^{(n)}\|_{\infty}}{\|x^{(n+1)}\|_{\infty}}.]

Passo 2

Breve aula sobre o método de Jacobi (com calma e sem pular etapas):
  • Dado um sistema linear \;A x=b\; com A=(a_{ij}), o método de Jacobi reescreve cada equação isolando a variável diagonal e usa os valores da iteração anterior para calcular as novas componentes. Para a linha i:
x_i^{(n+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\left(b_i-\sum_{j\neq i} a_{ij}\,x_j^{(n)}\right).
Aqui x^{(n)}=(x_1^{(n)},x_2^{(n)},\dots) é o vetor na iteração n. O método gera sequência de vetores x^{(0)},x^{(1)},\dots.
  • Convergência: uma condição simples (suficiente) que garante que o método converge para a solução exata a partir de qualquer chute inicial é a dominância diagonal estrita por linha: para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Isto significa que o módulo do coeficiente diagonal da linha é maior que a soma dos módulos dos outros coeficientes da mesma linha. Se essa condição vale para todas as linhas, o método de Jacobi converge (isso é mais simples de verificar do que calcular autovalores da matriz iterativa).
  • Norma infinito (usada no critério de parada aqui): para um vetor v=(v_1,v_2,v_3),
\|v\|_{\infty}=\max\{|v_1|,|v_2|,|v_3|\}.
Usaremos o erro relativo definido no Passo 1.

Passo 3

Aplicação da condição de dominância diagonal para responder (a):
Examinamos cada linha da matriz de coeficientes (eu peguei os coeficientes do próprio enunciado):
Linha 1: coeficientes (8,2,-3). A diagonal é 8. Soma dos módulos dos outros termos: |2|+|-3|=2+3=5. Verificamos
|8|>5,
logo a linha 1 já é estritamente dominada.
Linha 2: coeficientes (-2,k,2). A diagonal é k. Soma dos módulos dos outros termos: |-2|+|2|=2+2=4. Para dominância estrita precisamos
|k|>4.
Como a questão pede o menor valor inteiro positivo de k, isso significa k inteiro e positivo com k>4, portanto o menor é k=5.
Linha 3: coeficientes (-1,3,6). A diagonal é 6. Soma dos outros módulos: |-1|+|3|=1+3=4. Verificamos
|6|>4,
logo a linha 3 também é estritamente dominada.
Conclusão da parte (a): a única restrição é k>4, então o menor inteiro positivo que garante convergência via dominância diagonal é k=5.

Passo 4

Agora vamos para a parte (b): executar o método de Jacobi com k=10 e chute inicial x^{(0)}=(0,0,0).
Primeiro escrevo explicitamente as fórmulas iterativas (derivei estas expressões isolando cada x_i na sua equação; peguei os coeficientes do enunciado e substituí k=10 na segunda equação):
Da primeira equação \;8x_1+2x_2-3x_3=10\; isolamos x_1:
x_1^{(n+1)}=\frac{1}{8}\bigl(10-2x_2^{(n)}+3x_3^{(n)}\bigr).
Da segunda equação \;-2x_1+10x_2+2x_3=5\; isolamos x_2:
x_2^{(n+1)}=\frac{1}{10}\bigl(5+2x_1^{(n)}-2x_3^{(n)}\bigr).
Da terceira equação \;-x_1+3x_2+6x_3=7\; isolamos x_3:
x_3^{(n+1)}=\frac{1}{6}\bigl(7+x_1^{(n)}-3x_2^{(n)}\bigr).
Vamos calcular iteração por iteração, mostrando contas detalhadas (frações exatas e depois decimal aproximado), sempre calculando o erro relativo com a norma infinito como definido.

Passo 5

Iteração n=0\to n=1. Partimos de x^{(0)}=(0,0,0).
Cálculos:
x_1^{(1)}=\frac{1}{8}\bigl(10-2\cdot0+3\cdot0\bigr)=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1{,}25,
x_2^{(1)}=\frac{1}{10}\bigl(5+2\cdot0-2\cdot0\bigr)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}=0{,}5,
x_3^{(1)}=\frac{1}{6}\bigl(7+0-3\cdot0\bigr)=\frac{7}{6}\approx1{,}1666667.
Portanto
x^{(1)}=\left(\frac{5}{4},\frac{1}{2},\frac{7}{6}\right)\approx(1{,}25,\;0{,}5,\;1{,}1666667).
Ainda não há iteração anterior para comparar erro relativo útil (poderíamos comparar com x^{(0)} mas tipicamente começamos a avaliar a partir das iterações seguintes). Vamos continuar.

Passo 6

Iteração n=1\to n=2.
Usando x^{(1)}:
Cálculos exatos:
x_1^{(2)}=\frac{1}{8}\Bigl(10-2\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\frac{7}{6}\Bigr) =\frac{1}{8}\Bigl(10-1+\frac{7}{2}\Bigr) =\frac{1}{8}\cdot\frac{25}{2}=\frac{25}{16}=1{,}5625,
x_2^{(2)}=\frac{1}{10}\Bigl(5+2\cdot\frac{5}{4}-2\cdot\frac{7}{6}\Bigr) =\frac{1}{10}\Bigl(5+\frac{5}{2}-\frac{7}{3}\Bigr) =\frac{1}{10}\cdot\frac{31}{6}=\frac{31}{60}\approx0{,}5166667,
x_3^{(2)}=\frac{1}{6}\Bigl(7+\frac{5}{4}-3\cdot\frac{1}{2}\Bigr) =\frac{1}{6}\Bigl(7+\frac{5}{4}-\frac{3}{2}\Bigr) =\frac{1}{6}\cdot\frac{27}{4}=\frac{9}{8}=1{,}125.
Logo
x^{(2)}=\left(\frac{25}{16},\frac{31}{60},\frac{9}{8}\right)\approx(1{,}5625,\;0{,}5166667,\;1{,}125).
Agora calculemos o erro relativo entre x^{(2)} e x^{(1)}:
Diferença
x^{(2)}-x^{(1)}=\left(\frac{25}{16}-\frac{5}{4},\;\frac{31}{60}-\frac{1}{2},\;\frac{9}{8}-\frac{7}{6}\right) =\left(\frac{5}{16},\;\frac{1}{60},\;-\frac{1}{24}\right).
Norma infinito do numerador:
\|x^{(2)}-x^{(1)}\|_{\infty}=\max\left\{\frac{5}{16},\frac{1}{60},\frac{1}{24}\right\}=\frac{5}{16}=0{,}3125.
Norma infinito de x^{(2)}:
\|x^{(2)}\|_{\infty}=\max\{1{,}5625,\;0{,}5166667,\;1{,}125\}=1{,}5625.
Erro relativo
e=\frac{0{,}3125}{1{,}5625}=0{,}2.
Como e=0{,}2\ge 0{,}1, a tolerância pedida ( e<0{,}1) ainda não foi alcançada. Prosseguimos para a terceira iteração (e lembrando o enunciado permite no máximo 3 iterações).

Passo 7

Iteração n=2\to n=3.
Usando x^{(2)}=\left(\frac{25}{16},\frac{31}{60},\frac{9}{8}\right):
Cálculos exatos (mostro passos):
x_1^{(3)}=\frac{1}{8}\Bigl(10-2\cdot\frac{31}{60}+3\cdot\frac{9}{8}\Bigr) =\frac{1}{8}\Bigl(10-\frac{31}{30}+\frac{27}{8}\Bigr).
Para somar os termos uso denominador comum 120:
10=\frac{1200}{120},\quad -\frac{31}{30}=-\frac{124}{120},\quad \frac{27}{8}=\frac{405}{120},
soma =\frac{1200-124+405}{120}=\frac{1481}{120}. Dividindo por 8:
x_1^{(3)}=\frac{1481}{960}\approx1{,}543229167.
Agora x_2^{(3)}:
x_2^{(3)}=\frac{1}{10}\Bigl(5+2\cdot\frac{25}{16}-2\cdot\frac{9}{8}\Bigr) =\frac{1}{10}\Bigl(5+\frac{25}{8}-\frac{9}{4}\Bigr).
Colocando em oitavos: 5=\frac{40}{8}, \frac{25}{8}, -\frac{9}{4}=-\frac{18}{8}. Soma \frac{47}{8}. Dividindo por 10:
x_2^{(3)}=\frac{47}{80}=0{,}5875.
Agora x_3^{(3)}:
x_3^{(3)}=\frac{1}{6}\Bigl(7+\frac{25}{16}-3\cdot\frac{31}{60}\Bigr) =\frac{1}{6}\Bigl(7+\frac{25}{16}-\frac{93}{60}\Bigr).
Uso denominador comum 480: 7=\frac{3360}{480}, \frac{25}{16}=\frac{75}{48}=\frac{375}{240}=\frac{1250}{800} — melhor converter direitamente: \frac{25}{16}=\frac{75}{48}=\frac{125}{80}=\frac{750}{480}. E \frac{93}{60}=\frac{744}{480}. Então soma no denom 480: \frac{3360+750-744}{480}=\frac{3366}{480}=\frac{561}{80}. Dividindo por 6: \frac{561}{480}=1{,}16875. (No cálculo anterior eu obtive a forma \frac{561}{480}.)
Assim
x^{(3)}=\left(\frac{1481}{960},\frac{47}{80},\frac{561}{480}\right)\approx(1{,}543229167,\;0{,}5875,\;1{,}16875).
Agora calculo o erro relativo entre x^{(3)} e x^{(2)}:
Diferença
x^{(3)}-x^{(2)}=\left(\frac{1481}{960}-\frac{25}{16},\;\frac{47}{80}-\frac{31}{60},\;\frac{561}{480}-\frac{9}{8}\right).
Faço cada componente:
  • Para a primeira componente: \frac{25}{16}=\frac{1500}{960}, então \frac{1481}{960}-\frac{1500}{960}=-\frac{19}{960}. Módulo: \frac{19}{960}\approx0{,}019791667.
  • Segunda componente: \frac{47}{80}=\frac{141}{240}, \frac{31}{60}=\frac{124}{240}, diferença \frac{17}{240}\approx0{,}070833333.
  • Terceira componente: \frac{9}{8}=\frac{540}{480}, diferença \frac{561-540}{480}=\frac{21}{480}=\frac{7}{160}=0{,}04375.
Norma infinito do numerador:
\|x^{(3)}-x^{(2)}\|_{\infty}=\max\left\{\frac{19}{960},\frac{17}{240},\frac{7}{160}\right\}=\frac{17}{240}\approx0{,}070833333.
Norma infinito de x^{(3)}:
\|x^{(3)}\|_{\infty}=\max\{1{,}543229167,\;0{,}5875,\;1{,}16875\}=1{,}543229167.
Erro relativo
e=\frac{0{,}070833333}{1{,}543229167}\approx0{,}0459<0{,}1.
Como e<0{,}1 e já realizámos 3 iterações (o enunciado permitia parar antes se a condição fosse satisfeita), concluímos o processo aqui. O vetor aproximado obtido é x^{(3)} conforme calculado.

Passo 8

Resumo final e incentivo (rápido): com k=10 o método de Jacobi, começando de x^{(0)}=(0,0,0), após 3 iterações fornece uma aproximação que atende o critério de erro relativo pedido. Você mandou bem vindo até aqui — é só copiar as fórmulas do passo 4 e reproduzir as contas passo a passo na prova que dá certo.

Resposta

(a) k=5
(b) Após 3 iterações (com k=10) a solução aproximada é
x^{(3)}=\left(\frac{1481}{960},\frac{47}{80},\frac{561}{480}\right)\approx(1{,}543229167,\;0{,}5875,\;1{,}16875).

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