(a) Determine o menor valor inteiro positivo de k para o qual o sistema acima terá convergência garantida quando resolvido pelo método de Jacobi.
(b) Partindo do vetor nulo e utilizando k=10, resolva o sistema pelo método de Jacobi com erro relativo e<0.1, ou no máximo 3 iterações.
(a) Determinar o menor valor inteiro positivo de k para o qual a convergência do método de Jacobi é garantida.
(b) Usando k=10 e começando do vetor nulo, aplicar o método de Jacobi até obter erro relativo e<0,1 (ou, se não ocorrer antes, parar após no máximo 3 iterações) e apresentar a solução aproximada obtida.
As informações relevantes que temos são as três equações acima e o valor k=10 para a parte (b). Vou trabalhar com a forma iterativa do método de Jacobi e com um critério de convergência baseado na dominância diagonal (que garante convergência) e, para o cálculo do erro relativo nas iterações, vou usar a norma infinito (máximo absoluto entre componentes): se x^{(n)} e x^{(n+1)} são vetores iterados, o erro relativo será tomado como
Breve aula sobre o método de Jacobi (com calma e sem pular etapas):
Dado um sistema linear \;A x=b\; com A=(a_{ij}), o método de Jacobi reescreve cada equação isolando a variável diagonal e usa os valores da iteração anterior para calcular as novas componentes. Para a linha i:
Aqui x^{(n)}=(x_1^{(n)},x_2^{(n)},\dots) é o vetor na iteração n. O método gera sequência de vetores x^{(0)},x^{(1)},\dots.
Convergência: uma condição simples (suficiente) que garante que o método converge para a solução exata a partir de qualquer chute inicial é a dominância diagonal estrita por linha: para todo i,
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Isto significa que o módulo do coeficiente diagonal da linha é maior que a soma dos módulos dos outros coeficientes da mesma linha. Se essa condição vale para todas as linhas, o método de Jacobi converge (isso é mais simples de verificar do que calcular autovalores da matriz iterativa).
Norma infinito (usada no critério de parada aqui): para um vetor v=(v_1,v_2,v_3),
\|v\|_{\infty}=\max\{|v_1|,|v_2|,|v_3|\}.
Usaremos o erro relativo definido no Passo 1.
Passo 3
Aplicação da condição de dominância diagonal para responder (a):
Examinamos cada linha da matriz de coeficientes (eu peguei os coeficientes do próprio enunciado):
Linha 1: coeficientes (8,2,-3). A diagonal é 8. Soma dos módulos dos outros termos: |2|+|-3|=2+3=5. Verificamos
|8|>5,
logo a linha 1 já é estritamente dominada.
Linha 2: coeficientes (-2,k,2). A diagonal é k. Soma dos módulos dos outros termos: |-2|+|2|=2+2=4. Para dominância estrita precisamos
|k|>4.
Como a questão pede o menor valor inteiro positivo de k, isso significa k inteiro e positivo com k>4, portanto o menor é k=5.
Linha 3: coeficientes (-1,3,6). A diagonal é 6. Soma dos outros módulos: |-1|+|3|=1+3=4. Verificamos
|6|>4,
logo a linha 3 também é estritamente dominada.
Conclusão da parte (a): a única restrição é k>4, então o menor inteiro positivo que garante convergência via dominância diagonal é k=5.
Passo 4
Agora vamos para a parte (b): executar o método de Jacobi com k=10 e chute inicial x^{(0)}=(0,0,0).
Primeiro escrevo explicitamente as fórmulas iterativas (derivei estas expressões isolando cada x_i na sua equação; peguei os coeficientes do enunciado e substituí k=10 na segunda equação):
Da primeira equação \;8x_1+2x_2-3x_3=10\; isolamos x_1:
Vamos calcular iteração por iteração, mostrando contas detalhadas (frações exatas e depois decimal aproximado), sempre calculando o erro relativo com a norma infinito como definido.
Ainda não há iteração anterior para comparar erro relativo útil (poderíamos comparar com x^{(0)} mas tipicamente começamos a avaliar a partir das iterações seguintes). Vamos continuar.
Como e=0{,}2\ge 0{,}1, a tolerância pedida (e<0{,}1) ainda não foi alcançada. Prosseguimos para a terceira iteração (e lembrando o enunciado permite no máximo 3 iterações).
Uso denominador comum 480: 7=\frac{3360}{480}, \frac{25}{16}=\frac{75}{48}=\frac{375}{240}=\frac{1250}{800} — melhor converter direitamente: \frac{25}{16}=\frac{75}{48}=\frac{125}{80}=\frac{750}{480}. E \frac{93}{60}=\frac{744}{480}. Então soma no denom 480: \frac{3360+750-744}{480}=\frac{3366}{480}=\frac{561}{80}. Dividindo por 6: \frac{561}{480}=1{,}16875. (No cálculo anterior eu obtive a forma \frac{561}{480}.)
Para a primeira componente: \frac{25}{16}=\frac{1500}{960}, então \frac{1481}{960}-\frac{1500}{960}=-\frac{19}{960}. Módulo: \frac{19}{960}\approx0{,}019791667.
Segunda componente: \frac{47}{80}=\frac{141}{240}, \frac{31}{60}=\frac{124}{240}, diferença \frac{17}{240}\approx0{,}070833333.
Como e<0{,}1 e já realizámos 3 iterações (o enunciado permitia parar antes se a condição fosse satisfeita), concluímos o processo aqui. O vetor aproximado obtido é x^{(3)} conforme calculado.
Passo 8
Resumo final e incentivo (rápido): com k=10 o método de Jacobi, começando de x^{(0)}=(0,0,0), após 3 iterações fornece uma aproximação que atende o critério de erro relativo pedido. Você mandou bem vindo até aqui — é só copiar as fórmulas do passo 4 e reproduzir as contas passo a passo na prova que dá certo.
Resposta
(a) k=5
(b) Após 3 iterações (com k=10) a solução aproximada é