Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
\begin{cases}4 x_{1}+84.8 x_{2}+30 x_{3} & =69 \\\ 84.8 x_{1}+3446.4 x_{2}+1086.6 x_{3} & =1597 \\\ 30 x_{1}+1086.6 x_{2}+354 x_{3} & =570\end{cases}
Supondo que um sistema modelado por um professor de CN resultou no seguinte conjunto de equações:
\begin{cases}4 x_{1}+3.2 x_{2} & =9.73 \\\ 3.2 x_{1}+3.6 x_{2} & =9.35\end{cases}
Resolva o sistema utilizando LU e calcule o resíduo provocado pelos arredondamentos.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: resolver o sistema linear do professor usando decomposição LU e calcular o resíduo provocado pelos arredondamentos. O sistema fornecido (o que devemos resolver) é
\begin{cases} 4 x_{1}+3,2 x_{2} = 9,73\\[4pt] 3,2 x_{1}+3,6 x_{2} = 9,35 \end{cases}
Lista de dados relevantes fornecidos:
A=\begin{pmatrix}4 & 3,2\\[4pt] 3,2 & 3,6\end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}9,73\\[4pt]9,35\end{pmatrix}.
O que se pede explicitamente: (1) obter x resolvendo Ax=b por LU; (2) calcular o resíduo que aparece quando realizamos os cálculos com arredondamentos (ou seja, comparar a solução obtida com arredondamento com o sistema original).]

Passo 2

Breve aula sobre decomposição LU (dois por um, bem prático):
  • Queremos escrever A = LU, onde L é triangular inferior com 1s na diagonal e U é triangular superior.
  • Para uma matriz 2\times2
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},
podemos escolher
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix}.
  • A igualdade A=LU dá as relações:
u_{11}=a_{11},\quad u_{12}=a_{12},\quad \ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}},\quad u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}.
  • Depois de obter L e U, resolvemos Ly=b por substituição direta (forward) e em seguida Ux=y por substituição retroativa (back substitution).
  • Explico o que é cada variável: \ell_{21} é o multiplicador que anula a entrada a_{21} ao triangularizar; u_{ij} são entradas da matriz triangular superior; y é uma solução intermediária tal que Ly=b.]

Passo 3

Aplicando as fórmulas ao nosso A (sem arredondar ainda):
a_{11}=4,\quad a_{12}=3,2,\quad a_{21}=3,2,\quad a_{22}=3,6.
Calculemos passo a passo:
u_{11}=a_{11}=4.
\ell_{21}=\frac{a_{21}}{u_{11}}=\frac{3,2}{4}=0,8.
u_{12}=a_{12}=3,2.
u_{22}=a_{22}-\ell_{21}u_{12}=3,6-0,8\cdot 3,2=3,6-2,56=1,04.
Logo
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0,8 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}4 & 3,2\\[4pt] 0 & 1,04\end{pmatrix}.]

Passo 4

Resolver exatamente (isto é, sem forçar arredondamentos intermediários) usando LU.
  1. Resolver Ly=b:
y_1=b_1=9,73.
y_2=b_2-\ell_{21}y_1=9,35-0,8\cdot 9,73=9,35-7,784=1,566.
  1. Resolver Ux=y (retro-substituição):
x_2=\frac{y_2}{u_{22}}=\frac{1,566}{1,04}\approx 1,5057692308.
x_1=\frac{y_1-u_{12}x_2}{u_{11}}=\frac{9,73-3,2\cdot 1,5057692308}{4} =\frac{9,73-4,8184615386}{4}=\frac{4,9115384614}{4}=1,2278846154.
Portanto a solução “exata” (no sentido de aritmética real) é
x\approx\begin{pmatrix}1,2278846154\\[4pt]1,5057692308\end{pmatrix}.]

Passo 5

Modelo de arredondamento que vamos usar (obrigatório para calcular o resíduo provocado por arredondamentos): vou assumir que a máquina usa aritmética com 3 algarismos significativos (3 algarismos significativos é um exemplo típico em exercícios de métodos numéricos). Isso significa que, após cada operação aritmética, arredondamos o resultado para 3 algarismos significativos (arredondamento ao mais próximo, ties 5 para cima). Explico por que: o enunciado pede o resíduo provocado pelos arredondamentos mas não especifica precisão — 3 algarismos significativos é uma escolha padrão pedagógica que evidencia efeito do arredondamento. Se você precisar de outra precisão (por ex. 4 dígitos), eu repito com essa escolha.

Passo 6

Reexecutamos os cálculos aplicando o arredondamento de 3 algarismos significativos em cada resultado importante.
  1. Decomposição LU com arredondamento:
u_{11}=4\quad(\text{exato}).
\ell_{21}=\frac{3,2}{4}=0,8\longrightarrow \text{com 3 s.f. }0,80.
u_{12}=3,2\quad(\text{exato}).
u_{22}=3,6-0,8\cdot 3,2.
Calculemos 0,8\cdot 3,2=2,56 (já tem 3 s.f.), então
u_{22}=3,6-2,56=1,04\quad(\text{3 s.f. }1,04).
Assim LU com arredondamentos fica numericamente igual ao caso exato neste passo:
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0,80 & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}4 & 3,2\\[4pt] 0 & 1,04\end{pmatrix}.
  1. Resolvendo Ly=b com arredondamento a cada operação:
y_1=b_1=9,73\quad(\text{já tem 3 s.f.}).á
\ell_{21}y_1=0,80\cdot 9,73=7,784\longrightarrow\text{arredondando a 3 s.f. }7,78.
y_2=b_2-(\ell_{21}y_1)=9,35-7,78=1,57\quad(\text{3 s.f. }1,57).
  1. Resolver Ux=y com arredondamento:
x_2=\frac{y_2}{u_{22}}=\frac{1,57}{1,04}=1,5096153846\longrightarrow\text{3 s.f. }1,51.
Agora x_1:
u_{12}x_2=3,2\cdot 1,51=4,832\longrightarrow\text{3 s.f. }4,83.
y_1-(u_{12}x_2)=9,73-4,83=4,90\quad(\text{3 s.f. }4,90).
x_1=\frac{4,90}{4}=1,225\longrightarrow\text{3 s.f. }1,23.
Portanto a solução obtida com aritmética de 3 algarismos significativos (denotada \hat{x}) é
\hat{x}=\begin{pmatrix}1,23\\[4pt]1,51\end{pmatrix}.]

Passo 7

Calcular o resíduo provocado pelos arredondamentos: r=b-A\hat{x}. Aqui usamos a matriz original A e o vetor \hat{x} obtido com arredondamentos; o resíduo mostra quanto o produto A\hat{x} difere de b.
Calculemos A\hat{x} (usando aritmética real para avaliar o erro final):
Linha 1:
4\cdot 1,23 + 3,2\cdot 1,51 = 4,92 + 4,832 = 9,752.
r_1=b_1-(A\hat{x})_1=9,73-9,752=-0,022.
Linha 2:
3,2\cdot 1,23 + 3,6\cdot 1,51 = 3,936 + 5,436 = 9,372.
r_2=b_2-(A\hat{x})_2=9,35-9,372=-0,022.
Assim o vetor resíduo é
r=\begin{pmatrix}-0,022\\[4pt]-0,022\end{pmatrix}.
Podemos também dar normas do resíduo (são úteis para avaliar o tamanho do erro):
\|r\|_\infty=\max(|r_1|,|r_2|)=0,022.
\|r\|_2=\sqrt{(-0,022)^2+(-0,022)^2}=\sqrt{2\cdot 0,000484}=0,0311\\ (\text{aprox.}).
Interpretação curta e motivadora: o arredondamento para 3 algarismos significativos durante a resolução levou a uma solução \hat{x} ligeiramente diferente da solução “exata” e isso gerou um resíduo de cerca de -0,022 em cada equação — pequeno, mas visível. Se quisermos menos erro, usamos mais dígitos ou pivotamento quando necessário.]

Resposta

x_1=1,23,\; x_2=1,51
r=\bigl(-0,022,\;-0,022\bigr)^\top

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