Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
Resolva o sistema utilizando LU e calcule o resíduo provocado pelos arredondamentos.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: resolver o sistema linear do professor usando decomposição LU e calcular o resíduo provocado pelos arredondamentos. O sistema fornecido (o que devemos resolver) é
O que se pede explicitamente: (1) obter x resolvendo Ax=b por LU; (2) calcular o resíduo que aparece quando realizamos os cálculos com arredondamentos (ou seja, comparar a solução obtida com arredondamento com o sistema original).]
Passo 2
Breve aula sobre decomposição LU (dois por um, bem prático):
Queremos escrever A = LU, onde L é triangular inferior com 1s na diagonal e U é triangular superior.
Depois de obter L e U, resolvemos Ly=b por substituição direta (forward) e em seguida Ux=y por substituição retroativa (back substitution).
Explico o que é cada variável: \ell_{21} é o multiplicador que anula a entrada a_{21} ao triangularizar; u_{ij} são entradas da matriz triangular superior; y é uma solução intermediária tal que Ly=b.]
Passo 3
Aplicando as fórmulas ao nosso A (sem arredondar ainda):
Modelo de arredondamento que vamos usar (obrigatório para calcular o resíduo provocado por arredondamentos): vou assumir que a máquina usa aritmética com 3 algarismos significativos (3 algarismos significativos é um exemplo típico em exercícios de métodos numéricos). Isso significa que, após cada operação aritmética, arredondamos o resultado para 3 algarismos significativos (arredondamento ao mais próximo, ties 5 para cima). Explico por que: o enunciado pede o resíduo provocado pelos arredondamentos mas não especifica precisão — 3 algarismos significativos é uma escolha padrão pedagógica que evidencia efeito do arredondamento. Se você precisar de outra precisão (por ex. 4 dígitos), eu repito com essa escolha.
Passo 6
Reexecutamos os cálculos aplicando o arredondamento de 3 algarismos significativos em cada resultado importante.
Calcular o resíduo provocado pelos arredondamentos: r=b-A\hat{x}. Aqui usamos a matriz original A e o vetor \hat{x} obtido com arredondamentos; o resíduo mostra quanto o produto A\hat{x} difere de b.
Calculemos A\hat{x} (usando aritmética real para avaliar o erro final):
Linha 1:
Interpretação curta e motivadora: o arredondamento para 3 algarismos significativos durante a resolução levou a uma solução \hat{x} ligeiramente diferente da solução “exata” e isso gerou um resíduo de cerca de -0,022 em cada equação — pequeno, mas visível. Se quisermos menos erro, usamos mais dígitos ou pivotamento quando necessário.]