Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
\begin{cases}4 x_{1}+84.8 x_{2}+30 x_{3} & =69 \\\ 84.8 x_{1}+3446.4 x_{2}+1086.6 x_{3} & =1597 \\\ 30 x_{1}+1086.6 x_{2}+354 x_{3} & =570\end{cases}
Resolva o sistema utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 4 x_{1}+84{,}8 x_{2}+30 x_{3}=69\\[4pt] 84{,}8 x_{1}+3446{,}4 x_{2}+1086{,}6 x_{3}=1597\\[4pt] 30 x_{1}+1086{,}6 x_{2}+354 x_{3}=570 \end{cases}
Pergunta: resolver esse sistema usando o método de eliminação de Gauss com pivotação parcial.
Informações relevantes que temos: as três equações acima; devemos aplicar eliminação por colunas escolhendo, a cada passo, o pivô com maior valor absoluto na coluna (pivotação parcial), fazer operações de linha para triangularizar a matriz e depois fazer retro-substituição para obter x_1,x_2,x_3. A partir daqui começo a eliminação propriamente dita.]

Passo 2

O primeiro passo do Gauss com pivotação parcial é escolher o pivô da primeira coluna entre as três linhas (maior valor absoluto na coluna 1). Os valores absolutos na coluna 1 são |4|,\;|84{,}8|,\;|30|. O maior é |84{,}8|, que está na segunda equação. Então fazemos uma troca de linhas para colocar esse pivô na primeira linha. Após a troca (trocar Linha1 ↔ Linha2) o sistema fica:
\begin{array}{rcl} \text{R1: } & 84{,}8x_1 + 3446{,}4x_2 + 1086{,}6x_3 &= 1597,\\[3pt] \text{R2: } & 4x_1 + 84{,}8x_2 + 30x_3 &= 69,\\[3pt] \text{R3: } & 30x_1 + 1086{,}6x_2 + 354x_3 &= 570. \end{array}
Explicação rápida do porquê trocar: escolher o maior pivô reduz erros numéricos e evita divisão por números muito pequenos.]

Passo 3

Agora eliminamos os termos abaixo do pivô da coluna 1 (fazer zeros nas posições (2,1) e (3,1)). Para isso calculamos os multiplicadores
m_{21}=\frac{\text{R2 coluna 1}}{\text{R1 coluna 1}}=\frac{4}{84{,}8}=\frac{5}{106}\approx 0{,}0471698113,
m_{31}=\frac{\text{R3 coluna 1}}{\text{R1 coluna 1}}=\frac{30}{84{,}8}=\frac{75}{212}\approx 0{,}3537735849.
A operação é \text{R2}\leftarrow\text{R2}-m_{21}\cdot\text{R1} e \text{R3}\leftarrow\text{R3}-m_{31}\cdot\text{R1}. Vou calcular cada entrada resultante (apresento valores com precisão suficiente para seguir a prova).
Calculemos a nova R2:
\begin{aligned} \text{R2}_2 & = 84{,}8 - m_{21}\cdot 3446{,}4 =84{,}8 - \frac{5}{106}\cdot 3446{,}4 \approx -77{,}76603773584906,\\[4pt] \text{R2}_3 & = 30 - m_{21}\cdot 1086{,}6 =30 - \frac{5}{106}\cdot 1086{,}6 \approx -21{,}254716981132075,\\[4pt] \text{R2}_{\text{rhs}} & = 69 - m_{21}\cdot 1597 =69 - \frac{5}{106}\cdot 1597 \approx -6{,}33018867924528. \end{aligned}
Calculemos a nova R3:
\begin{aligned} \text{R3}_2 & = 1086{,}6 - m_{31}\cdot 3446{,}4 =1086{,}6 - \frac{75}{212}\cdot 3446{,}4 \approx -132{,}64528301886792,\\[4pt] \text{R3}_3 & = 354 - m_{31}\cdot 1086{,}6 =354 - \frac{75}{212}\cdot 1086{,}6 \approx -30{,}18584905660377,\\[4pt] \text{R3}_{\text{rhs}} & = 570 - m_{31}\cdot 1597 =570 - \frac{75}{212}\cdot 1597 \approx 5{,}023584905660377. \end{aligned}
Após essas operações a matriz aumentada (forma triangular superior parcial) fica:
\begin{array}{rcl} \text{R1: } & 84{,}8x_1 + 3446{,}4x_2 + 1086{,}6x_3 &= 1597,\\[3pt] \text{R2: } & 0x_1 -77{,}76603773584906\,x_2 -21{,}254716981132075\,x_3 &= -6{,}33018867924528,\\[3pt] \text{R3: } & 0x_1 -132{,}64528301886792\,x_2 -30{,}18584905660377\,x_3 &= 5{,}023584905660377. \end{array}]

Passo 4

Agora vamos à segunda coluna: escolhemos pivô entre as linhas 2 e 3 (coluna 2), pelo maior valor absoluto. Temos |-77{,}7660\dots| e |-132{,}6452\dots|. O maior é |-132{,}6452\dots| (linha 3), então trocamos R2 ↔ R3 para manter o maior pivô na posição (2,2). Após a troca:
\begin{array}{rcl} \text{R1: } & 84{,}8x_1 + 3446{,}4x_2 + 1086{,}6x_3 &= 1597,\\[3pt] \text{R2: } & 0x_1 -132{,}64528301886792\,x_2 -30{,}18584905660377\,x_3 &= 5{,}023584905660377,\\[3pt] \text{R3: } & 0x_1 -77{,}76603773584906\,x_2 -21{,}254716981132075\,x_3 &= -6{,}33018867924528. \end{array}
Explicação do próximo passo: usamos o pivô \text{R2}_{22}=-132{,}645283\dots e eliminamos o termo na coluna 2 da R3 com o multiplicador m_{32}=\dfrac{\text{R3}_{2}}{\text{R2}_{2}}.]

Passo 5

Calculamos o multiplicador e eliminamos a entrada (3,2):
m_{32}=\frac{-77{,}76603773584906}{-132{,}64528301886792}\approx 0{,}58627067.
Aplicamos \text{R3}\leftarrow\text{R3}-m_{32}\cdot\text{R2}. Calculemos as entradas novas de R3:
Nova \text{R3}_3:
\begin{aligned} \text{R3}_3 & = -21{,}254716981132075 - m_{32}\cdot(-30{,}18584905660377)\\[4pt] & = -21{,}254716981132075 + m_{32}\cdot 30{,}18584905660377\\[4pt] & \approx -21{,}254716981132075 + 17{,}697077547 \quad(\text{aprox.})\\[4pt] & \approx -3{,}5576394341320756. \end{aligned}
Nova \text{R3}_{\text{rhs}}:
\begin{aligned} \text{R3}_{\text{rhs}} & = -6{,}33018867924528 - m_{32}\cdot 5{,}023584905660377\\[4pt] & \approx -6{,}33018867924528 - 2{,}945180489\\[4pt] & \approx -9{,}27536916824528. \end{aligned}
Após a eliminação completa, a matriz está triangular superior:
\begin{array}{rcl} \text{R1: } & 84{,}8x_1 + 3446{,}4x_2 + 1086{,}6x_3 &= 1597,\\[3pt] \text{R2: } & 0x_1 -132{,}64528301886792\,x_2 -30{,}18584905660377\,x_3 &= 5{,}023584905660377,\\[3pt] \text{R3: } & 0x_1 + 0x_2 -3{,}5576394341320756\,x_3 &= -9{,}27536916824528. \end{array}
Observação: cada número foi aproximado com precisão suficiente para a retro-substituição manual na prova.]

Passo 6

Fazemos a retro-substituição (back-substitution). Começamos pela última equação (R3) para obter x_3:
-3{,}5576394341320756\,x_3 = -9{,}27536916824528.
Logo
x_3 = \frac{-9{,}27536916824528}{-3{,}5576394341320756} =\frac{9{,}27536916824528}{3{,}5576394341320756} \approx 2{,}607171\\ (\text{aprox.}).
Expliquei: dividimos o lado direito pelo coeficiente de x_3 (sempre verificar o sinal).

Passo 7

Agora substituímos x_3 na segunda equação (R2) para calcular x_2. A R2 é
-132{,}64528301886792\,x_2 -30{,}18584905660377\,x_3 = 5{,}023584905660377.
Então
-132{,}64528301886792\,x_2 = 5{,}023584905660377 + 30{,}18584905660377\cdot x_3.
Substituindo x_3\approx 2{,}607171 obtemos (cálculos mostrados):
30{,}18584905660377\cdot 2{,}607171 \approx 78{,}699672755,
-132{,}64528301886792\,x_2 \approx 5{,}023584905660377 + 78{,}699672755 =83{,}72325766066038.
Logo
x_2 \approx -\frac{83{,}72325766066038}{132{,}64528301886792}\approx -0{,}631176.
Observação: o sinal é negativo porque o coeficiente do x_2 é negativo.

Passo 8

Finalmente, substituímos x_2 e x_3 na primeira equação para obter x_1. A R1 é
84{,}8x_1 + 3446{,}4x_2 + 1086{,}6x_3 = 1597.
Substituindo x_2\approx -0{,}631176 e x_3\approx 2{,}607171 obtemos:
3446{,}4\cdot(-0{,}631176)\approx -2175{,}284,\qquad 1086{,}6\cdot 2{,}607171\approx 2832{,}952.
Então
84{,}8x_1 \approx 1597 -(-2175{,}284) - 2832{,}952 =1597 -(-2175{,}284) - 2832{,}952 =1597 +2175{,}284 -2832{,}952 \approx 939{,}332.
Portanto
x_1 \approx \frac{939{,}332}{84{,}8}\approx 11{,}077.

Resposta

x_{1}\approx 11{,}077
x_{2}\approx -0{,}631176
x_{3}\approx 2{,}607171

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