Resolva os sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss e verifique a exatidão da solução encontrada através do cálculo do resíduo. Utilize 4 casas decimais. \left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\\\ -3 & -1 & 4 \\\\ 2 & 14 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}13 \\\\ 8 \\\\ 50\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para resolver pelo método de eliminação de Gauss e verificar a exatidão da solução através do cálculo do resíduo. Os dados fornecidos são:
x = \begin{pmatrix}x_{1} \\[4pt] x_{2} \\[4pt] x_{3}\end{pmatrix}
Vetor termo independente b:
b = \begin{pmatrix}13 \\[4pt] 8 \\[4pt] 50\end{pmatrix}
Perguntas a responder:
Encontrar x_{1},x_{2},x_{3} resolvendo A x = b pelo método de eliminação de Gauss.
Calcular o resíduo r = b - A x e verificar a exatidão da solução.]
Passo 2
Breve explicação do método (aula rápida e prática): o método de eliminação de Gauss transforma o sistema numa forma triangular superior usando operações elementares de linha (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo). Essas operações preservam o conjunto de soluções. Depois que a matriz estiver triangular superior, resolve-se por substituição regressiva (back-substitution).
Operações que vou usar (cada uma é permitida e não altera as soluções):
R_j \leftarrow R_j + \alpha R_i (somar múltiplo de uma linha a outra),
r = b - A x = \begin{pmatrix}13 \\[4pt] 8 \\[4pt] 50\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}13 \\[4pt] 8 \\[4pt] 50\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Arredondando cada componente para 4 casas decimais:
r = \begin{pmatrix}0,0000 \\[4pt] 0,0000 \\[4pt] 0,0000\end{pmatrix}.
Interpretação: resíduo nulo significa que a solução encontrada satisfaz exatamente o sistema (dado o cálculo exato), ou seja, a solução é exata dentro da aritmética usada.]
Resposta
x_{1} = -1,0000
x_{2} = 3,0000
x_{3} = 2,0000
r = \begin{pmatrix}0,0000 \\[4pt] 0,0000 \\[4pt] 0,0000\end{pmatrix}]