Resolva os sistemas lineares pelo método de eliminação de Gauss e verifique a exatidão da solução encontrada através do cálculo do resíduo. Utilize 4 casas decimais.
\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 4 \\\\ -3 & -1 & 4 \\\\ 2 & 14 & 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}13 \\\\ 8 \\\\ 50\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver pelo método de eliminação de Gauss e verificar a exatidão da solução através do cálculo do resíduo. Os dados fornecidos são:
  • Matriz dos coeficientes A:
A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 4 \\[4pt] -3 & -1 & 4 \\[4pt] 2 & 14 & 5\end{pmatrix}
  • Vetor incógnitas x:
x = \begin{pmatrix}x_{1} \\[4pt] x_{2} \\[4pt] x_{3}\end{pmatrix}
  • Vetor termo independente b:
b = \begin{pmatrix}13 \\[4pt] 8 \\[4pt] 50\end{pmatrix}
Perguntas a responder:
  1. Encontrar x_{1},x_{2},x_{3} resolvendo A x = b pelo método de eliminação de Gauss.
  2. Calcular o resíduo r = b - A x e verificar a exatidão da solução.]

Passo 2

Breve explicação do método (aula rápida e prática): o método de eliminação de Gauss transforma o sistema numa forma triangular superior usando operações elementares de linha (somar múltiplos de uma linha a outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo). Essas operações preservam o conjunto de soluções. Depois que a matriz estiver triangular superior, resolve-se por substituição regressiva (back-substitution).
Operações que vou usar (cada uma é permitida e não altera as soluções):
  • R_j \leftarrow R_j + \alpha R_i (somar múltiplo de uma linha a outra),
  • eventualmente R_i \leftrightarrow R_j (trocar linhas),
  • evitar divisão por zero no pivô (se necessário, trocar linhas).
Agora aplico isso ao sistema dado.

Passo 3

Formo a matriz aumentada [A\mid b] e inicio a eliminação:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 13\\[4pt] -3 & -1 & 4 & 8\\[4pt] 2 & 14 & 5 & 50 \end{array}\right]
Primeiro pivô é o elemento \,1 na posição (1,1). Vou eliminar as entradas abaixo dele nas colunas 1.
Faço:
  • R_{2} \leftarrow R_{2} + 3R_{1},
  • R_{3} \leftarrow R_{3} - 2R_{1}.
Calculemos cada operação:
Para R_{2}:
-3 + 3\cdot 1 = 0,\quad -1 + 3\cdot 2 = 5,\quad 4 + 3\cdot 4 = 16,\quad 8 + 3\cdot 13 = 47.
Para R_{3}:
2 - 2\cdot 1 = 0,\quad 14 - 2\cdot 2 = 10,\quad 5 - 2\cdot 4 = -3,\quad 50 - 2\cdot 13 = 24.
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 13\\[4pt] 0 & 5 & 16 & 47\\[4pt] 0 & 10 & -3 & 24 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora o segundo pivô é o elemento 5 na posição (2,2). Vou eliminar a entrada abaixo dele na coluna 2 (posição (3,2)).
Multiplicador para eliminar 10 é \dfrac{10}{5}=2. Faço:
  • R_{3} \leftarrow R_{3} - 2R_{2}.
Calculemos:
0 - 2\cdot 0 = 0,\quad 10 - 2\cdot 5 = 0,\quad -3 - 2\cdot 16 = -3 - 32 = -35,\quad 24 - 2\cdot 47 = 24 - 94 = -70.
A matriz agora é triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 4 & 13\\[4pt] 0 & 5 & 16 & 47\\[4pt] 0 & 0 & -35 & -70 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora resolvo por substituição regressiva (back-substitution). A terceira equação (linha 3) dá:
-35 x_{3} = -70.
Logo
x_{3} = \dfrac{-70}{-35} = 2.
Coloco x_{3}=2 na segunda equação (linha 2):
5 x_{2} + 16 x_{3} = 47.
Substituindo x_{3}:
5 x_{2} + 16\cdot 2 = 47 \quad\Rightarrow\quad 5 x_{2} + 32 = 47.
Logo
5 x_{2} = 15 \quad\Rightarrow\quad x_{2} = 3.
Finalmente, na primeira equação (linha 1):
x_{1} + 2 x_{2} + 4 x_{3} = 13.
Substituindo x_{2}=3 e x_{3}=2:
x_{1} + 2\cdot 3 + 4\cdot 2 = 13 \quad\Rightarrow\quad x_{1} + 6 + 8 = 13.
Assim
x_{1} + 14 = 13 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = -1.

Passo 6

Arredondamento e apresentação com 4 casas decimais conforme pedido:
x_{1} = -1,0000,\qquad x_{2} = 3,0000,\qquad x_{3} = 2,0000.

Passo 7

Agora verifico a exatidão calculando o resíduo r = b - A x. Primeiro calculo A x.
Com \,x = \begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 3 \\[4pt] 2\end{pmatrix}:
Componente 1:
(Ax)_{1} = 1\cdot(-1) + 2\cdot 3 + 4\cdot 2 = -1 + 6 + 8 = 13.
Componente 2:
(Ax)_{2} = -3\cdot(-1) + (-1)\cdot 3 + 4\cdot 2 = 3 - 3 + 8 = 8.
Componente 3:
(Ax)_{3} = 2\cdot(-1) + 14\cdot 3 + 5\cdot 2 = -2 + 42 + 10 = 50.
Agora o resíduo:
r = b - A x = \begin{pmatrix}13 \\[4pt] 8 \\[4pt] 50\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}13 \\[4pt] 8 \\[4pt] 50\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\[4pt] 0 \\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Arredondando cada componente para 4 casas decimais:
r = \begin{pmatrix}0,0000 \\[4pt] 0,0000 \\[4pt] 0,0000\end{pmatrix}.
Interpretação: resíduo nulo significa que a solução encontrada satisfaz exatamente o sistema (dado o cálculo exato), ou seja, a solução é exata dentro da aritmética usada.]

Resposta

x_{1} = -1,0000
x_{2} = 3,0000
x_{3} = 2,0000
r = \begin{pmatrix}0,0000 \\[4pt] 0,0000 \\[4pt] 0,0000\end{pmatrix}]

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