Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[ccc -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1 & 1 & -3 ][l x1 x2 x3 ]=[c 11 4 -2 ]
a) Resolva o sistema dado usando o método de decomposição LU.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente resolver o sistema linear
A,x = b com A = -9 & 5 & 6 [6pt] 2 & 3 & 1 [6pt] -1 & 1 & -3 , b = 114-2
usando decomposição LU.
Conteúdo da matéria:
  • O que é decomposição LU (fatorar com triangular inferior e triangular superior).
  • Substituição direta (para resolver ).
  • Substituição reversa (para resolver ).
    Pra isso a gente vai usar o método de Doolittle, que monta com 1’s na diagonal e vai encontrando entradas de e passo a passo.

Passo 2

Decompondo L = 1 & 0 & 0[4pt] ell21 & 1 & 0[4pt] ell31 & ell32 & 1 , U = u11 & u12 & u13[4pt] 0 & u22 & u23[4pt] 0 & 0 & u33 pelo método de Doolittle:
Definimos
L = 1 & 0 & 0[4pt] -tfrac29 & 1 & 0[4pt] tfrac19 & tfrac437 & 1 , U = -9 & 5 & 6[4pt] 0 & tfrac379 & tfrac73[4pt] 0 & 0 & -tfrac14537
Agora vamos calcular cada entrada:
  1. .

Logo

Passo 3

Resolvendo y1 = b1 = 11,[4pt] y2 = b2 - ell21,y1 = 4 - l(-tfrac29r)cdot 11 = tfrac589,[4pt] y3 = b3 - ell31,y1 - ell32,y2 = -2 - tfrac19cdot 11 - tfrac437cdottfrac589 = -tfrac14537 (substituição direta):
y = 11[4pt]tfrac589[4pt]-tfrac14537
Então

Passo 4

Resolvendo u33,x3 = y3 ;Longrightarrow; -tfrac14537,x3 = -tfrac14537 ;Longrightarrow; x3 = 1,[6pt] u22,x2 + u23,x3 = y2 ;Longrightarrow; tfrac379,x2 + tfrac73cdot1 = tfrac589 ;Longrightarrow; x2 = 1,[6pt] u11,x1 + u12,x2 + u13,x3 = y1 ;Longrightarrow; -9,x1 + 5cdot1 + 6cdot1 = 11 ;Longrightarrow; x1 = 0 (substituição reversa):

Resposta

x = 011

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