Prove o item a seguir para
:
se e somente se
é um inteiro ímpar, e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. Temos um coeficiente binomial
e queremos provar que isso só acontece se, e somente se, for ímpar e
e queremos provar que isso só acontece se, e somente se,
Isso é combinatória básica, usando a definição
.
Para resolver, vamos precisar escrever cada binomial pela fórmula de fatoriais e comparar.
Para resolver, vamos precisar escrever cada binomial pela fórmula de fatoriais e comparar.
Passo 2
Primeiro, escrevendo a definição:
A igualdade pedida é
Passo 3
Como
aparece nos dois lados, podemos cancelá-lo (supondo
), ficando
Invertendo cada fração (ou multiplicando cruzado), temos
Passo 4
Agora vamos usar a relação de fatoriais:
e
.
Então o lado esquerdo vira
Então o lado esquerdo vira
e o lado direito fica
Igualando-os:
Como
é comum aos dois lados (e não zero), cancelamos, sobrando
Então
mostrando que
precisa ser ímpar e
Passo 5
Para a recíproca, se
é ímpar e
, então
. Substituindo na mesma conta de cima, a condição
vale automaticamente, e por isso
.