Prove o item a seguir para n >= 1:
binomnr=binomnr+1 se e somente se n é um inteiro ímpar, e r=12(n-1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o enunciado pede. Temos um coeficiente binomial
r = n-12
e queremos provar que isso só acontece se, e somente se, for ímpar e
Isso é combinatória básica, usando a definição
.
Para resolver, vamos precisar escrever cada binomial pela fórmula de fatoriais e comparar.

Passo 2

Primeiro, escrevendo a definição:
binomnr = n!r!,(n-r)!, binomnr+1 = n!(r+1)!,(n-r-1)!
A igualdade pedida é
n!r!,(n-r)! ;=; n!(r+1)!,(n-r-1)!

Passo 3

Como 1r!,(n-r)! ;=; 1(r+1)!,(n-r-1)! aparece nos dois lados, podemos cancelá-lo (supondo (r+1)!,(n-r-1)! ;=; r!,(n-r)! ), ficando
Invertendo cada fração (ou multiplicando cruzado), temos

Passo 4

Agora vamos usar a relação de fatoriais:
(r+1)!,(n-r-1)! = (r+1),r!,(n-r-1)!, e r!,(n-r)! = r!,(n-r),(n-r-1)! .
Então o lado esquerdo vira
(r+1),r!,(n-r-1)! = r!,(n-r),(n-r-1)!
e o lado direito fica
r+1 = n - r
Igualando-os:
2r + 1 = n,
Como r = n-12 é comum aos dois lados (e não zero), cancelamos, sobrando
Então
mostrando que precisa ser ímpar e

Passo 5

Para a recíproca, se é ímpar e , então . Substituindo na mesma conta de cima, a condição vale automaticamente, e por isso
.

Resposta

se e somente se é um inteiro ímpar e .

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