Para n >= 2, prove que:
binom22+binom32+binom42+cdots+binomn2=binomn+13
[Sugestão: Use indução e a regra de Pascal.]

Passo 1

Resumo do enunciado: Para todo inteiro binom22 + binom32 + cdots + binomn2 ;=;binomn+13 , provar que
Conteúdo da matéria: coeficientes binomiais, princípio de indução e regra de Pascal.
O que vamos usar:
  1. Definição .
  2. Regra de Pascal:
  3. Técnica de indução matemática.

Passo 2

Caso base ( ):
Lado esquerdo:
Lado direito:
Logo bate certinho para .

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para certo sumk=2^nbinomk2 ;=;binomn+13 valha

Passo 4

Queremos mostrar que então
sumk=2^n+1binomk2 =binomn+23
Mas
sumk=2^n+1binomk2 =l(sumk=2^nbinomk2r) + binomn+12 ;stackrelHI=;binomn+13 + binomn+12

Passo 5

Aplicando a regra de Pascal com binomn+13 + binomn+12 =binom(n+1)+13 =binomn+23 e :
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Portanto, para todo binom22 + binom32 + cdots + binomn2 =binomn+13 ,

Exercícios relacionados