Para
, prove que:
[Sugestão: Use indução e a regra de Pascal.]
Passo 1
Resumo do enunciado: Para todo inteiro
, provar que
Conteúdo da matéria: coeficientes binomiais, princípio de indução e regra de Pascal.
O que vamos usar:
O que vamos usar:
- Definição
. - Regra de Pascal:
- Técnica de indução matemática.
Passo 2
Caso base (
):
Lado esquerdo:
Lado direito:
Logo bate certinho para .
Lado esquerdo:
Lado direito:
Logo bate certinho para
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para certo
valha
Passo 4
Queremos mostrar que então
Mas
Passo 5
Aplicando a regra de Pascal com
e
:
Isso completa o passo indutivo.
Resposta
Portanto, para todo
,