Caso haja convergência garantida, resolva os sistemas lineares pelo método iterativo de Gauss-Seidel com x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t} e \epsilon=0,01.
\left\{\begin{aligned} 6 x_{1}-x_{2}-x_{3} & =11 \\\\ -x_{1}+6 x_{2}-x_{3} & =32 \\\\ -x_{1}-x_{2}-6 x_{3} & =42\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede resolver o sistema linear pelo método iterativo de Gauss–Seidel, usando vetor inicial x^{(0)}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t}\) e tolerância \(\epsilon=0,01\). O sistema dado é: \[\begin{cases} 6x_{1}-x_{2}-x_{3}=11,\\[4pt] -x_{1}+6x_{2}-x_{3}=32,\\[4pt] -x_{1}-x_{2}-6x_{3}=42. \end{cases}
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Matriz dos coeficientes e termo independente:
A=\begin{pmatrix} 6 & -1 & -1\\[4pt] -1 & 6 & -1\\[4pt] -1 & -1 & -6 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}11\\[4pt]32\\[4pt]42\end{pmatrix}.
  • Vetor inicial: x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}\]. - Critério de parada solicitado: \(\epsilon=0,01 (usaremos o critério padrão \max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|<\epsilon).]

Passo 2

Verificar se a convergência do método de Gauss–Seidel está garantida. Uma condição suficiente e simples é que a matriz A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para cada linha i:
|a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|.
Calcular para cada linha:
\text{linha 1: }\;|a_{11}|=6,\quad\sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|{-1}|+|{-1}|=2\quad\Rightarrow\quad6>2.
\text{linha 2: }\;|a_{22}|=6,\quad\sum_{j\ne2}|a_{2j}|=1+1=2\quad\Rightarrow\quad6>2.
\text{linha 3: }\;|a_{33}|=|{-6}|=6,\quad\sum_{j\ne3}|a_{3j}|=1+1=2\quad\Rightarrow\quad6>2.
Como todas as linhas satisfazem a desigualdade, A é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Portanto a convergência do método de Gauss–Seidel está garantida.

Passo 3

Derivar as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel para este sistema. Em Gauss–Seidel, cada componente x_i^{(k+1)} é calculada resolvendo a i-ésima equação isolando x_i e usando, quando já disponíveis, os componentes atualizados x_j^{(k+1)} para j<i e os antigos x_j^{(k)} para j>i. Para as equações do sistema:
\begin{aligned} 6x_{1} &= 11 + x_{2} + x_{3} \quad\Rightarrow\quad x_{1}=\frac{11+x_{2}+x_{3}}{6},\\[4pt] 6x_{2} &= 32 + x_{1} + x_{3} \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{32+x_{1}+x_{3}}{6},\\[4pt] -6x_{3} &= 42 + x_{1} + x_{2} \quad\Rightarrow\quad x_{3}=-\frac{42+x_{1}+x_{2}}{6}. \end{aligned}
Aqui, x_i sem índice de iteração representa a variável na fórmula; na implementação iterativa usamos:
\begin{aligned} x_1^{(k+1)} &= \frac{11 + x_2^{(\ast)} + x_3^{(\ast)}}{6},\\[4pt] x_2^{(k+1)} &= \frac{32 + x_1^{(k+1)} + x_3^{(\ast)}}{6},\\[4pt] x_3^{(k+1)} &= -\frac{42 + x_1^{(k+1)} + x_2^{(k+1)}}{6}, \end{aligned}
onde x_j^{(\ast)} significa usar x_j^{(k+1)} se já foi atualizado nesta iteração ou x_j^{(k)} caso contrário. Explicando as variáveis: x_i^{(k)} é o valor de x_i na iteração k; k=0 é o vetor inicial.]

Passo 4

Critério de parada escolhido (explicado): usaremos o critério de diferença entre iterações consecutivas
\delta^{(k+1)}=\max_{i\in\{1,2,3\}}\big|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}\big|.
Parar quando \delta^{(k+1)}<\epsilon. Esse critério garante que todas as componentes estão mudando menos do que a tolerância pedida, o que é uma prática comum em provas e exercícios.

Passo 5

Iteração k=0\to k=1. Vetor inicial x^{(0)}=(0,0,0)^t.
Calcular:
x_1^{(1)}=\frac{11+x_2^{(0)}+x_3^{(0)}}{6}=\frac{11+0+0}{6}=\frac{11}{6}\approx 1,8333.
x_2^{(1)}=\frac{32+x_1^{(1)}+x_3^{(0)}}{6}=\frac{32+1,8333+0}{6}=\frac{33,8333}{6}\approx 5,6389.
x_3^{(1)}=-\frac{42+x_1^{(1)}+x_2^{(1)}}{6}=-\frac{42+1,8333+5,6389}{6}=-\frac{49,4722}{6}\approx -8,2454.
Diferenças em relação a x^{(0)}:
|x_1^{(1)}-x_1^{(0)}|=1,8333,\quad |x_2^{(1)}-x_2^{(0)}|=5,6389,\quad |x_3^{(1)}-x_3^{(0)}|=8,2454.
Logo \delta^{(1)}=\max\{1,8333,5,6389,8,2454\}=8,2454>\epsilon. Continuar.

Passo 6

Iteração k=1\to k=2. Usar os valores de x^{(1)}.
Calcular:
x_1^{(2)}=\frac{11+x_2^{(1)}+x_3^{(1)}}{6}=\frac{11+5,6388889-8,2453704}{6}=\frac{8,3935185}{6}\approx 1,3989.
x_2^{(2)}=\frac{32+x_1^{(2)}+x_3^{(1)}}{6}=\frac{32+1,3989198-8,2453704}{6}=\frac{25,1535494}{6}\approx 4,1923.
x_3^{(2)}=-\frac{42+x_1^{(2)}+x_2^{(2)}}{6}=-\frac{42+1,3989198+4,1922582}{6}=-\frac{47,5911780}{6}\approx -7,9319.
Diferenças:
|x_1^{(2)}-x_1^{(1)}|=|1,3989-1,8333|\approx0,4344,
|x_2^{(2)}-x_2^{(1)}|=|4,1923-5,6389|\approx1,4466,
|x_3^{(2)}-x_3^{(1)}|=|{-7,9319}-(-8,2454)|\approx0,3135.
Logo \delta^{(2)}\approx1,4466>\epsilon. Continuar.

Passo 7

Iteração k=2\to k=3.
Calcular:
x_1^{(3)}=\frac{11+x_2^{(2)}+x_3^{(2)}}{6}=\frac{11+4,1922582-7,9318630}{6}=\frac{7,2603952}{6}\approx 1,2101.
x_2^{(3)}=\frac{32+x_1^{(3)}+x_3^{(2)}}{6}=\frac{32+1,2100659-7,9318630}{6}=\frac{25,2782029}{6}\approx 4,2130.
x_3^{(3)}=-\frac{42+x_1^{(3)}+x_2^{(3)}}{6}=-\frac{42+1,2100659+4,2130338}{6}=-\frac{47,4230997}{6}\approx -7,9038.
Diferenças:
|x_1^{(3)}-x_1^{(2)}|\approx|1,2101-1,3989|=0,1888,
|x_2^{(3)}-x_2^{(2)}|\approx|4,2130-4,1923|=0,0208,
|x_3^{(3)}-x_3^{(2)}|\approx|{-7,9038}-(-7,9319)|=0,0280.
Então \delta^{(3)}\approx0,1888>\epsilon. Continuar.

Passo 8

Iteração k=3\to k=4.
Calcular:
x_1^{(4)}=\frac{11+x_2^{(3)}+x_3^{(3)}}{6}=\frac{11+4,2130338-7,9038499}{6}=\frac{7,3091839}{6}\approx 1,2182.
x_2^{(4)}=\frac{32+x_1^{(4)}+x_3^{(3)}}{6}=\frac{32+1,2181973-7,9038499}{6}=\frac{25,3143474}{6}\approx 4,2191.
x_3^{(4)}=-\frac{42+x_1^{(4)}+x_2^{(4)}}{6}=-\frac{42+1,2181973+4,2190579}{6}=-\frac{47,4372552}{6}\approx -7,9062.
Diferenças:
|x_1^{(4)}-x_1^{(3)}|\approx|1,2182-1,2101|=0,0081,
|x_2^{(4)}-x_2^{(3)}|\approx|4,2191-4,2130|=0,0060,
|x_3^{(4)}-x_3^{(3)}|\approx|{-7,9062}-(-7,9038)|=0,0024.
Agora \delta^{(4)}=\max\{0,0081,0,0060,0,0024\}=0,0081<\epsilon. Portanto a tolerância foi atingida e paramos.

Passo 9

Resultado final aproximado (valores obtidos em k=4, arredondados a 4 casas decimais para leitura):
x^{(4)}\approx\begin{pmatrix}1,2182\\[4pt]4,2191\\[4pt]-7,9062\end{pmatrix}.]

Resposta

\displaystyle x_1\approx1,2182\
\displaystyle x_2\approx4,2191\
\displaystyle x_3\approx-7,9062

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