Caso haja convergência garantida, resolva os sistemas lineares pelo método iterativo de Gauss-Seidel com x^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t} e \epsilon=0,01. \left\{\begin{aligned} 6 x_{1}-x_{2}-x_{3} & =11 \\\\ -x_{1}+6 x_{2}-x_{3} & =32 \\\\ -x_{1}-x_{2}-6 x_{3} & =42\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede resolver o sistema linear pelo método iterativo de Gauss–Seidel, usando vetor inicial x^{(0)}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{t}\) e tolerância \(\epsilon=0,01\). O sistema dado é:
\[\begin{cases} 6x_{1}-x_{2}-x_{3}=11,\\[4pt] -x_{1}+6x_{2}-x_{3}=32,\\[4pt] -x_{1}-x_{2}-6x_{3}=42. \end{cases}
Vetor inicial: x^{(0)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}\].
- Critério de parada solicitado: \(\epsilon=0,01 (usaremos o critério padrão \max_{i}|x_i^{(k+1)}-x_i^{(k)}|<\epsilon).]
Passo 2
Verificar se a convergência do método de Gauss–Seidel está garantida. Uma condição suficiente e simples é que a matriz A seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para cada linha i:
Como todas as linhas satisfazem a desigualdade, A é estritamente diagonalmente dominante por linhas. Portanto a convergência do método de Gauss–Seidel está garantida.
Passo 3
Derivar as fórmulas iterativas de Gauss–Seidel para este sistema. Em Gauss–Seidel, cada componente x_i^{(k+1)} é calculada resolvendo a i-ésima equação isolando x_i e usando, quando já disponíveis, os componentes atualizados x_j^{(k+1)} para j<i e os antigos x_j^{(k)} para j>i. Para as equações do sistema:
onde x_j^{(\ast)} significa usar x_j^{(k+1)} se já foi atualizado nesta iteração ou x_j^{(k)} caso contrário. Explicando as variáveis: x_i^{(k)} é o valor de x_i na iteração k; k=0 é o vetor inicial.]
Passo 4
Critério de parada escolhido (explicado): usaremos o critério de diferença entre iterações consecutivas
Parar quando \delta^{(k+1)}<\epsilon. Esse critério garante que todas as componentes estão mudando menos do que a tolerância pedida, o que é uma prática comum em provas e exercícios.