Um sensor de temperatura fornece os seguintes dados experimentais:
Temperatura
real \left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)
0 20 40 60 80
Sinal do
sensor (V)
0.10 0.52 1.02 1.49 1.98
a) Determine a equação de calibração linear V=a+b T pelo método dos mínimos quadrados.
b) Use a equação para estimar o valor de T quando o sensor medir 1.20 V .
c) Calcule o erro percentual se a temperatura real for T_{\text {real }}=45^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Determinar a equação de calibração linear V = a + b\,T usando mínimos quadrados, a partir dos dados fornecidos na tabela.
  • (b) Usar essa equação para estimar a temperatura T quando o sensor dá V = 1,20\\ \mathrm{V}.
  • (c) Calcular o erro percentual se a temperatura real for T_{\text{real}} = 45^\circ\mathrm{C}.
Eu extraí os dados da tabela fornecida:
\begin{array}{c|c} T\\ (^\circ\mathrm{C}) & V\\ (\mathrm{V})\\hline 0 & 0,10\\\\ 20 & 0,52\\\\ 40 & 1,02\\\\ 60 & 1,49\\\\ 80 & 1,98 \end{array}
Esses são todos os dados necessários; agora vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma reta V=a+bT.

Passo 2

Explicação do método (passo-a-passo didático). Queremos escolher a e b que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos entre os valores observados V_i e os valores preditos \hat V_i = a + b T_i. As equações normais resultantes dão as fórmulas fechadas:
b=\frac{\sum_{i=1}^{n}T_i V_i - n\overline{T}\,\overline{V}}{\sum_{i=1}^{n}T_i^2 - n\overline{T}^{\,2}}, \qquad a=\overline{V}-b\,\overline{T},
onde n é o número de pares de dados, \overline{T} é a média das temperaturas e \overline{V} é a média dos sinais. Aqui:
  • T_i são as temperaturas medidas (independente),
  • V_i são os sinais do sensor (dependente),
  • \overline{T}=\dfrac{1}{n}\sum T_i,
  • \overline{V}=\dfrac{1}{n}\sum V_i.
Vou calcular passo a passo os somatórios e depois aplicar essas fórmulas.

Passo 3

Calcular os somatórios necessários usando os dados da tabela:
Primeiro n=5 (há 5 pontos).
Calcule \sum T_i:
\sum T_i = 0 + 20 + 40 + 60 + 80 = 200.
Calcule \sum V_i:
\sum V_i = 0,10 + 0,52 + 1,02 + 1,49 + 1,98 = 5,11.
Calcule \sum T_i^2:
\sum T_i^2 = 0^2 + 20^2 + 40^2 + 60^2 + 80^2 = 0 + 400 + 1600 + 3600 + 6400 = 12000.
Calcule \sum T_i V_i (produto termo a termo):
\begin{aligned} \sum T_i V_i &= 0\cdot 0,10 + 20\cdot 0,52 + 40\cdot 1,02 + 60\cdot 1,49 + 80\cdot 1,98\\\ &= 0 + 10,4 + 40,8 + 89,4 + 158,4 = 299,0. \end{aligned}
Eu usei diretamente os valores da tabela para formar esses somatórios.

Passo 4

Calcular as médias \overline{T} e \overline{V}:
\overline{T}=\frac{\sum T_i}{n}=\frac{200}{5}=40, \qquad \overline{V}=\frac{\sum V_i}{n}=\frac{5,11}{5}=1,022.
Expliquei: \overline{T} é a temperatura média e \overline{V} é a média dos sinais.

Passo 5

Calcular o coeficiente angular b aplicando a fórmula:
b=\frac{\sum T_iV_i - n\overline{T}\,\overline{V}}{\sum T_i^2 - n\overline{T}^{\,2}}.
Substituindo os valores que calculei:
\sum T_iV_i = 299,0,\quad n\overline{T}\,\overline{V}=5\cdot 40\cdot 1,022=200\cdot 1,022 = 204,4,
\sum T_i^2 = 12000,\quad n\overline{T}^{\,2}=5\cdot 40^2 = 5\cdot 1600 = 8000.
Então:
\text{numerador} = 299,0 - 204,4 = 94,6, \qquad \text{denominador} = 12000 - 8000 = 4000.
Portanto
b=\frac{94,6}{4000}=0,02365\quad(\mathrm{V}/^\circ\mathrm{C}).
Interpretação: b é a sensibilidade do sensor, quantos volts aumentam por grau Celsius.

Passo 6

Calcular o coeficiente linear a usando a=\overline{V}-b\,\overline{T}:
a = 1,022 - 0,02365\cdot 40 = 1,022 - 0,946 = 0,076.
Interpretação: a é o valor do sinal previsto quando T=0^\circ\mathrm{C} (offset).

Passo 7

Escrever a equação de calibração encontrada (resposta do item (a)):
\boxed{V = 0,076 + 0,02365\,T}
onde V está em volts e T em graus Celsius. (Arredondei a e b a valores práticos; se precisar posso fornecer mais casas decimais.)

Passo 8

Item (b): estimar T quando o sensor indicar V=1,20\\ \mathrm{V}.
Isolamos T na equação:
T=\frac{V-a}{b}.
Substituindo V=1,20, a=0,076, b=0,02365:
T=\frac{1,20 - 0,076}{0,02365}=\frac{1,124}{0,02365}\approx 47,55\\ ^\circ\mathrm{C}.
Interpretação: com leitura de 1,20\\ \mathrm{V} a estimativa da temperatura pela reta ajustada é aproximadamente 47,55^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Item (c): calcular o erro percentual se a temperatura real for T_{\text{real}}=45^\circ\mathrm{C}.
Definição que vou usar (erro percentual relativo à temperatura real):
\text{erro percentual} = \left|\frac{T_{\text{estimado}}-T_{\text{real}}}{T_{\text{real}}}\right|\times 100\%.
Aqui T_{\text{estimado}}\approx 47,55^\circ\mathrm{C} (do Passo 8) e T_{\text{real}}=45^\circ\mathrm{C}. Então:
\text{erro absoluto}=|47,55 - 45| = 2,55\\ ^\circ\mathrm{C},
\text{erro percentual} = \frac{2,55}{45}\times 100\%\approx 5,66\%.
Interpretação: a estimativa difere da temperatura real em cerca de 5,66\%.

Resposta

V = 0,076 + 0,02365\,T
T \approx 47,55\\ ^\circ\mathrm{C} (para V=1,20\\ \mathrm{V})
Erro percentual \approx 5,66\%

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