Em um ensaio experimental, mediu-se a deformação \varepsilon em função da tensão \sigma :
\sigma(\mathrm{Mpa}) \sigma\left(\times 10^{-3}\right)
100 1.5
200 3.1
300 4.6
Faça a interpolação dos dados usando um polinômio de Lagrange e estime a deformação para \sigma=250 Мра.

Passo 1

O enunciado fornece uma tabela com medidas da deformação \varepsilon em função da tensão \sigma. Eu peguei esses dados diretamente da tabela do enunciado. Os dados são:
\sigma: \; 100,\;200,\;300 \quad\text{(MPa)}
\varepsilon: \; 1,5,\;3,1,\;4,6 \quad\text{(unidade mostrada na tabela, parece ser }\times10^{-3}\text{)}
A tarefa do problema é: Faça a interpolação dos dados usando um polinômio de Lagrange e estime a deformação para \sigma=250 MPa.

Passo 2

O que é a fórmula que vamos usar (conceito): o polinômio de Lagrange de grau 2 que interpola três pontos (x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2) é
P_2(x)=\sum_{i=0}^{2} y_i\,L_i(x),
onde cada polinômio base L_i(x) é definido por
L_i(x)=\prod_{\substack{j=0 \\\ j\ne i}}^{2}\frac{x-x_j}{x_i-x_j}.
Explicando com calma: x é a variável (aqui \sigma), x_i são as abscissas conhecidas ( 100,200,300), y_i são os valores medidos de \varepsilon correspondentes. Cada L_i(x) vale 1 em x=x_i e 0 em x=x_j para j\ne i, garantindo que P_2(x_i)=y_i. Isso nos dará um polinômio que passa exatamente pelos três pontos dados.

Passo 3

Identificação das abscissas e ordenadas com notação:
x_0=100,\; y_0=1,5;\qquad x_1=200,\; y_1=3,1;\qquad x_2=300,\; y_2=4,6.
Queremos P_2(250).

Passo 4

Calcular L_0(x). Pela fórmula,
L_0(x)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}=\frac{(x-200)(x-300)}{(100-200)(100-300)}.
Calcule o denominador:
(100-200)(100-300)=(-100)\cdot(-200)=20000.
Logo
L_0(x)=\frac{(x-200)(x-300)}{20000}.

Passo 5

Avaliar L_0 em x=250:
L_0(250)=\frac{(250-200)(250-300)}{20000}=\frac{50\cdot(-50)}{20000}=\frac{-2500}{20000}=-0,125.
Interpretação rápida: o peso associado ao ponto (100,1,5) no valor interpolado em 250 será negativo e igual a -0,125.

Passo 6

Calcular L_1(x):
L_1(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}=\frac{(x-100)(x-300)}{(200-100)(200-300)}.
Denominador:
(200-100)(200-300)=100\cdot(-100)=-10000.
Logo
L_1(x)=\frac{(x-100)(x-300)}{-10000}.

Passo 7

Avaliar L_1 em x=250:
L_1(250)=\frac{(250-100)(250-300)}{-10000}=\frac{150\cdot(-50)}{-10000}=\frac{-7500}{-10000}=0,75.

Passo 8

Calcular L_2(x):
L_2(x)=\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}=\frac{(x-100)(x-200)}{(300-100)(300-200)}.
Denominador:
(300-100)(300-200)=200\cdot100=20000.
Logo
L_2(x)=\frac{(x-100)(x-200)}{20000}.

Passo 9

Avaliar L_2 em x=250:
L_2(250)=\frac{(250-100)(250-200)}{20000}=\frac{150\cdot50}{20000}=\frac{7500}{20000}=0,375.

Passo 10

Checagem de consistência (importante e simples): a soma dos pesos deve dar 1:
L_0(250)+L_1(250)+L_2(250)=-0,125+0,75+0,375=1,00.
Ótimo — os pesos estão consistentes.

Passo 11

Agora formamos P_2(250) combinando os y_i com os L_i(250):
P_2(250)=y_0L_0(250)+y_1L_1(250)+y_2L_2(250).
Substituindo números (todos em notação com vírgula decimal conforme o enunciado):
P_2(250)=1,5\cdot(-0,125)+3,1\cdot0,75+4,6\cdot0,375.

Passo 12

Fazer as multiplicações passo a passo (sem pular contas):
1,5\cdot(-0,125)=-0,1875,
3,1\cdot0,75=2,325,
4,6\cdot0,375=1,725.
Somando:
P_2(250)=-0,1875+2,325+1,725=3,8625.

Passo 13

Interpretação final e arredondamento: o valor interpolado da deformação em \sigma=250 MPa é \varepsilon\approx3,8625. Se quisermos apresentar com menos casas, por exemplo com duas casas decimais, fica \varepsilon\approx3,86. Lembre-se que a tabela original parece indicar que as unidades de \varepsilon estão em \times10^{-3} — confirme a unidade na prova ou no enunciado original; aqui eu usei os números exatamente como vieram da tabela.

Resposta

\varepsilon(250\\ \text{MPa})\approx3,8625

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