Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Caso possível, resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
Passo 1
Beleza, a questão é resolver o sistema
[ 8 & 5 & 6 2 & 3 & 1 6 & 1 & 3 x1x2x3 = 19610
]
usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
O que precisamos: montar a matriz aumentada , escolher pivôs (o maior em valor absoluto na coluna), zerar abaixo deles com operações lineares e, no fim, fazer back-substitution. Vou explicando a teoria de cada pedacinho conforme a gente avança.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz aumentada:
[
\bigl[A\mid b\bigr]
Pivotamento parcial quer dizer: pra cada coluna R2 R2 - m21R1, R3 R3 - m31R1 , a gente procura, entre as linhas , o maior valor absoluto na coluna e, se preciso, troca de linha pra esse pivô ficar na diagonal. Na primeira coluna, , que já está na linha 1, então não trocamos nada.
Agora, para zerar abaixo do pivô , calculamos os multiplicadores: e ,
e fazemos
Agora vamos para a segunda coluna. Entre as linhas 2 e 3, comparamos 8 & 5 & 6 &mid& 19 0 & -tfrac114 & -tfrac32 &mid& -tfrac174 0 & tfrac74 & -tfrac12 &mid& tfrac54 e . O maior é (linha 3), então trocamos linha 2 ↔ linha 3 pra evitar divisões pequenas:
Passo 4
Em seguida, zeramos abaixo do pivô m32 = tfrac74-tfrac114 = -711 . Multiplicador:
l[,0,;0,;-tfrac1611mid -tfrac1611,r]
Fazemos 8 & 5 & 6 &mid& 19 0 & -tfrac114 & -tfrac32 &mid& -tfrac174 0 & 0 & -tfrac1611 &mid& -tfrac1611 . Isso deixa a linha 3 assim:
Agora a matriz está triangular superior:
Passo 5
Chegou a hora da back-substitution (substituir de baixo pra cima):
Da terceira linha: -tfrac1611x3 = -tfrac1611 Longrightarrow x3 = 1
Da segunda linha: -tfrac114x2 ;+;l(-tfrac32r)x3 = -tfrac174 Longrightarrow -tfrac114x2 - tfrac32cdot1 = -tfrac174 Passando 8x1 +5x2 +6x3 = 19 Longrightarrow 8x1 +5cdot1 +6cdot1 = 19 Longrightarrow 8x1 = 8 Longrightarrow x1 = 1 pro outro lado: ,
então .