Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrrr -1.2 & 5 & 6 & 1 2 & 3.4 & 1 & 0 -1 & 1 & -3 & 1 5.6 & -2 & 1 & 1 ][l x1 x2 x3 x4 ]=[r 7 1 -2 2 ]
Usando o Software Numérico, resolva o sistema dado pelo método direto de Eliminação de Gauss com pivotamento diagonal.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver um sistema 4×4 usando Eliminação de Gauss com “pivotamento diagonal” (ou seja, em cada passo a gente troca a linha atual com a que tem o maior valor absoluto na coluna do pivô, garantindo estabilidade numérica).
Conteúdo:
  • Montar a matriz aumentada
  • Escolher pivô com maior valor absoluto na coluna
  • Fazer operações elemento a elemento (multiplicadores) para zerar abaixo do pivô
  • Fazer retro-substituição no final
    Tudo explicadinho, passo a passo, como um amigo mesmo!

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada [rrrr|r -1.2 & 5 & 6 & 1 & 7 2 & 3.4 & 1 & 0 & 1 -1 & 1 & -3 & 1 & -2 5.6 & -2 & 1 & 1 & 2 ] :
[rrrr|r 5.6 & -2 & 1 & 1 & 2 2 & 3.4 & 1 & 0 & 1 -1 & 1 & -3 & 1 & -2 -1.2 & 5 & 6 & 1 & 7 ]
No passo mi1 = ai1a11, e fazemos Ri Ri - mi1,R1 nosso pivô ideal é o maior valor em módulo na coluna 1 entre as linhas 1–4. O maior é [rrrr|r 5.6 & -2.0000 & 1.0000 & 1.0000 & 2.0000 0 & 4.1143 & 0.6429 & -0.3571 & 0.2857 0 & 0.6429 & -2.8214 & 1.1786 & -1.6429 0 & 4.5714 & 6.2143 & 1.2143 & 7.4286 ] (linha 4), então trocamos linha 1 ↔ linha 4:
Agora eliminamos os elementos abaixo do pivô . Para cada linha calculamos


Depois dessas subtrações linha a linha, obtemos (arredondando p/ 4 casas):

Passo 3

Agora [rrrr|r 5.6 & -2.0000 & 1.0000 & 1.0000 & 2.0000 0 & 4.5714 & 6.2143 & 1.2143 & 7.4286 0 & 0.6429 & -2.8214& 1.1786 & -1.6429 0 & 4.1143 & 0.6429 & -0.3571& 0.2857 ] . Olhamos a coluna 2 nas linhas 2–4: valores m32=0.6429/4.5714approx0.1406, m42=4.1143/4.5714approx0.9000 . O maior é 4.5714 (linha 4), então trocamos linha 2 ↔ linha 4:
[rrrr|r 5.6 & -2.0000 & 1.0000 & 1.0000 & 2.0000 0 & 4.5714 & 6.2143 & 1.2143 & 7.4286 0 & 0 & -3.6955 & 1.0085 & -2.6883 0 & 0 & -4.9500 & -1.4500 & -6.4000 ]
Eliminamos abaixo de :
Fazendo em , vem:

Passo 4

Passo [rrrr|r 5.6 & -2.0000 & 1.0000 & 1.0000 & 2.0000 0 & 4.5714 &6.2143 & 1.2143 & 7.4286 0 & 0 &-4.9500 &-1.4500 &-6.4000 0 & 0 &-3.6955 & 1.0085 &-2.6883 ] : coluna 3 nas linhas 3–4 tem m43 = -3.6955-4.95approx0.7467, R4 R4 - m43R3 e [rrrr|r 5.6 & -2.0000 & 1.0000 & 1.0000 & 2.0000 0 & 4.5714 & 6.2143 & 1.2143 & 7.4286 0 & 0 & -4.9500 & -1.4500 & -6.4000 0 & 0 & 0 & 2.0911 & 2.0903 ] . Maior é linha 4, trocamos então linha 3 ↔ linha 4:
Eliminamos abaixo de :
Isso gera a última linha com só um pivô em (4,4):

Passo 5

Agora é só retro‐substituição. Chame os incógnitos de 2.0911,x4 = 2.0903 ;Longrightarrow; x4 approx 2.09032.0911approx 1.0000 . Da última linha:
-4.95,x3 -1.45,x4 = -6.4 ;Longrightarrow; -4.95,x3 = -6.4 +1.45cdot1 = -4.95 ;Longrightarrow;x3approx1.0000
Da linha 3:
4.5714,x2 +6.2143cdot1 +1.2143cdot1 =7.4286 ;Longrightarrow; 4.5714,x2 =7.4286 -7.4286 =0 ;Longrightarrow;x2=0
Da linha 2:
5.6,x1 -2cdot0 +1cdot1 +1cdot1 =2 ;Longrightarrow; 5.6,x1 =2 -2 =0 ;Longrightarrow;x1=0
Da linha 1:

Resposta

.

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