Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrrr -1.2 & 5 & 6 & 1 2 & 3.4 & 1 & 0 -1 & 1 & -3 & 1 5.6 & -2 & 1 & 1 ][l x1 x2 x3 x4 ]=[r 7 1 -2 2 ]
Usando o Software Numérico, resolva o sistema dado pelo método direto de Eliminação de Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado diz que a gente tem um sistema de 4 equações e 4 incógnitas, representado por
Ax = b, A = -1.2 & 5 & 6 & 1 2 & 3.4 & 1 & 0 -1 & 1 & -3 & 1 5.6 & -2 & 1 & 1 , b = 71-22
O conteúdo é Sistemas Lineares usando o método Gauss-Jordan (uma variação da eliminação de Gauss que reduz tudo à forma reduzida por linhas).
O que precisamos:
  • Formar a matriz aumentada .
  • Escolher pivôs (elementos na diagonal), normalizá-los para 1 e usar operações elementares para zerar todas as outras entradas na coluna.
  • Repetir para cada linha até ter a matriz reduzida onde a solução está “na cara”.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada:
l[Amid br] = -1.2 & 5 & 6 & 1 &mid& 7 2 & 3.4 & 1 & 0 &mid& 1 -1 & 1 & -3 & 1 &mid& -2 5.6 & -2 & 1 & 1 &mid& 2
Agora, usamos o elemento (linha 1, coluna 1) como pivô.
  1. Dividimos toda a linha 1 por para tornar esse pivô igual a 1.
  2. Depois zeramos a coluna 1 nas outras linhas, subtraindo ou somando múltiplos da nova linha 1.

Passo 3

Depois da normalização e eliminação usando o pivô da linha 1, a matriz vira algo como
1 & -4.166667 & -5 & -0.833333 &mid& -5.833333 0 & 11.733333 & 11 & 1.666667 &mid& 12.666667 0 & -3.166667 & -8 & 0.166667 &mid& -7.833333 0 & 21.333333 & 29 & 5.666667 &mid& 34.666667
Aí a gente repete o processo na coluna 2: escolhe como pivô o da linha 2, divide a linha 2, e zera acima e abaixo.

Passo 4

Após normalizar o pivô da linha 2 e zerar tudo na coluna 2, fica:
1 & 0 & -1.09375 & -0.24148 &mid& -1.33533 0 & 1 & 0.93750 & 0.14205 &mid& 1.07955 0 & 0 & -5.03125 & 0.61621 &mid& -4.41560 0 & 0 & 9 & 2.63488 &mid& 11.62670
A seguir, vamos para a coluna 3: pivô na linha 3. Dividimos a linha 3 por esse valor e zeramos as outras entradas da coluna 3.

Passo 5

Depois de tratar a coluna 3, obtemos:
1 & 0 & 0 & -0.37544 &mid& -0.37533 0 & 1 & 0 & 0.25689 &mid& 0.25755 0 & 0 & 1 & -0.12250 &mid& 0.87770 0 & 0 & 0 & 3.73738 &mid& 3.72740
Agora sobra só a coluna 4: pivô na linha 4. Dividimos a linha 4 e zeramos as outras entradas nessa coluna.

Passo 6

Após normalizar o pivô da linha 4 e zerar acima, chegamos à forma reduzida:
1 & 0 & 0 & 0 &mid& -0.00089 0 & 1 & 0 & 0 &mid& 0.00134 0 & 0 & 1 & 0 &mid& 0.99987 0 & 0 & 0 & 1 &mid& 0.99733
Na Gauss-Jordan, essa é a etapa final: cada linha diz diretamente o valor de .

Resposta

x1 approx -0.00089, x2 approx 0.00134, x3 approx 0.99987, x4 approx 0.99733

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