Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrr -1 & 2 & 2 1 & 3 & 0 -4 & 1 & 1 ][l x1 x2 x3 ][r -1 4 -3 ]
Determine a matriz inversa A^-1, da matriz A dada, usando o método de Gauss–Jordan.

Passo 1

Beleza, a questão é: “Dada a matriz
A= -1 & 2 & 2 1 & 3 & 0 -4 & 1 & 1 ,
determine pelo método de Gauss–Jordan.”
Isso faz parte de Álgebra Linear, mais precisamente de matrizes inversas.
O que vamos usar:
  1. Construir a matriz aumentada .
  2. Fazer operações elementares de linha (trocar linha, multiplicar linha por escalar, somar múltiplos de linha) para transformar na identidade.
  3. As mesmas operações aplicadas em virarão .

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [rrr|rrr -1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0[6pt] 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0[6pt] -4 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ] :
Aqui o objetivo é, pela eliminação de Gauss–Jordan, virar
.

Passo 3

Queremos pivô 1 na posição (1,1). Como já temos um “1” na linha 2, trocamos linha 1 com linha 2:
R1 &rightarrow R2 Longrightarrow [rrr|rrr 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 -4 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora zeramos a coluna 1 abaixo do pivô (1,1):
  • [rrr|rrr 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 5 & 2 & 1 & 1 & 0 0 & 13 & 1 & 0 & 4 & 1 ]

Passo 5

Agora vamos pivotar na segunda coluna:
  1. Normalizar R2 tfrac15R2 Longrightarrow [rrr|rrr 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & tfrac25 & tfrac15 & tfrac15 & 0 0 & 13 & 1 & 0 & 4 & 1 ] dividindo por 5:
[rrr|rrr 1 & 0 & -tfrac65 & -tfrac35 & tfrac25 & 0 0 & 1 & tfrac25 & tfrac15 & tfrac15 & 0 0 & 0 & -tfrac215 & -tfrac135 & tfrac75 & 1 ]
  1. Eliminar acima e abaixo do pivô (2,2):

Passo 6

Por fim, pivot na coluna 3:
  1. Normalizar R3 -tfrac521,R3 Longrightarrow [rrr|rrr 1 & 0 & -tfrac65 & -tfrac35 & tfrac25 & 0 0 & 1 & tfrac25 & tfrac15 & tfrac15 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac1321 & -tfrac13 & -tfrac521 ] dividindo por [rrr|rrr 1 & 0 & 0 & tfrac17 & 0 & -tfrac27 0 & 1 & 0 & -tfrac121 & tfrac13 & tfrac221 0 & 0 & 1 & tfrac1321 & -tfrac13 & -tfrac521 ] (ou multiplicar por ):
  1. Eliminar acima do pivô (3,3):

Resposta

A matriz inversa é, então,
A^-1 = tfrac17 & 0 & -tfrac27[4pt] -tfrac121 & tfrac13 & tfrac221[4pt] tfrac1321 & -tfrac13 & -tfrac521

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