Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Determine a matriz inversa
A^-1 , da matriz A dada, usando o método de Gauss–Jordan.
Passo 1
Beleza, a questão é: “Dada a matriz
determine
pelo método de Gauss–Jordan.”
Isso faz parte de Álgebra Linear, mais precisamente de matrizes inversas.
O que vamos usar:
Isso faz parte de Álgebra Linear, mais precisamente de matrizes inversas.
O que vamos usar:
- Construir a matriz aumentada
. - Fazer operações elementares de linha (trocar linha, multiplicar linha por escalar, somar múltiplos de linha) para transformar
na identidade. - As mesmas operações aplicadas em
virarão .
Passo 2
Montamos a matriz aumentada
[rrr|rrr -1 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0[6pt] 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0[6pt] -4 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ] :
Aqui o objetivo é, pela eliminação de Gauss–Jordan, virar
.
Passo 3
Queremos pivô 1 na posição (1,1). Como já temos um “1” na linha 2, trocamos linha 1 com linha 2:
Passo 4
Agora zeramos a coluna 1 abaixo do pivô (1,1):
-
[rrr|rrr 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 5 & 2 & 1 & 1 & 0 0 & 13 & 1 & 0 & 4 & 1 ] -
Passo 5
Agora vamos pivotar na segunda coluna:
- Normalizar
dividindo por 5:R2 tfrac15R2 Longrightarrow [rrr|rrr 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & tfrac25 & tfrac15 & tfrac15 & 0 0 & 13 & 1 & 0 & 4 & 1 ]
- Eliminar acima e abaixo do pivô (2,2):
Passo 6
Por fim, pivot na coluna 3:
- Normalizar
dividindo porR3 -tfrac521,R3 Longrightarrow [rrr|rrr 1 & 0 & -tfrac65 & -tfrac35 & tfrac25 & 0 0 & 1 & tfrac25 & tfrac15 & tfrac15 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac1321 & -tfrac13 & -tfrac521 ] (ou multiplicar por[rrr|rrr 1 & 0 & 0 & tfrac17 & 0 & -tfrac27 0 & 1 & 0 & -tfrac121 & tfrac13 & tfrac221 0 & 0 & 1 & tfrac1321 & -tfrac13 & -tfrac521 ] ):
- Eliminar acima do pivô (3,3):
Resposta
A matriz inversa é, então,