Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrr -1 & 2 & 2 1 & 3 & 0 -4 & 1 & 1 ][l x1 x2 x3 ][r -1 4 -3 ]
Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra resolver o sistema
-1,x1 + 2,x2 + 2,x3 = -1, -1,x1 + 3,x2 + 0,x3 = 4, -4,x1 + 1,x2 + 1,x3 = -3,
usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
Conteúdo: matrizes aumentadas, escolha do pivô (maior valor absoluto na coluna), eliminação de linhas e substituição regressiva. Vamos montar passo a passo, sem pular nada!

Passo 2

Primeiro a gente monta a matriz aumentada:
[ccc|c -1 & 2 & 2 & -1 1 & 3 & 0 & 4 -4 & 1 & 1 & -3 ]
Pivotamento parcial na coluna 1 (linhas 1–3): o maior valor absoluto nessa coluna é |-4|=4 (linha 3). Então trocamos linha 1 com linha 3:
[ccc|c -4 & 1 & 1 & -3 1 & 3 & 0 & 4 -1 & 2 & 2 & -1 ]
Agora, eliminamos as entradas abaixo do pivô -4:
– Fator para anular a21 é f21 = 1-4 = -tfrac14.
– Fator para anular a31 é f31 = -1-4 = tfrac14.
Aplicando
linha2 linha2 - f21,linha1, linha3 linha3 - f31,linha1,
ficamos com
[ccc|c -4 & 1 & 1 & -3 0 & tfrac134 & tfrac14 & tfrac134 0 & tfrac74 & tfrac74 & -tfrac14 ]

Passo 3

Agora pivotamento parcial na coluna 2, considerando linhas 2 e 3. Os valores absolutos são
l|tfrac134r|=3,25, l|tfrac74r|=1,75,
então mantemos a linha 2 como pivô. O pivô é tfrac134. Eliminamos a32 usando
f32 = tfrac74tfrac134 = 713,
e fazemos
linha3 linha3 - f32,linha2
Isso dá
[ccc|c -4 & 1 & 1 & -3 0 & tfrac134 & tfrac14 & tfrac134 0 & 0 & tfrac2113 & -2 ]

Passo 4

Agora temos o sistema triangular superior:
-4,x1 + x2 + x3 = -3, dfrac134,x2 + dfrac14,x3 = dfrac134, dfrac2113,x3 = -2
  1. Da última equação:
x3 = -2;1321 = -tfrac2621
  1. Na segunda equação, multiplica tudo por 4 pra simplificar:
13,x2 + x3 = 13 ;Longrightarrow; x2 = 13 - x313 = 13 - (-tfrac2621)13 = 2321
  1. Na primeira:
-4,x1 + x2 + x3 = -3 ;Longrightarrow; x1 = 3 + x2 + x34 = 3 + tfrac2321 + l(-tfrac2621r)4 = 57

Resposta

x1 = tfrac57, x2 = tfrac2321, x3 = -tfrac2621

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