Considere o sistema de equações lineares:
[lll 0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 3 & 1 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[l 8 6 4 ]
Determine a inversa da matriz A dada, usando o método de eliminação de Gauss-Jordan.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer achar a inversa da matriz
A = 0 & 2 & 2 1 & 3 & 0 3 & 1 & 1
usando eliminação de Gauss–Jordan.
Conteúdo: Álgebra linear – inversão de matrizes por operações elementares de linha.
O que vamos precisar:
  • Montar a matriz aumentada [Amid I].
  • Usar as três operações de linha:
    1. trocar duas linhas;
    2. multiplicar uma linha por escalar não-zero;
    3. somar múltiplo de uma linha em outra.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [Amid I]:
[ccc|ccc 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
A ideia é aplicar operações para transformar o bloco esquerdo em I3; o que aparecer à direita será A^-1.

Passo 3

Como o primeiro elemento da linha 1 é zero, trocamos linha 1 com linha 2 para ter pivot 1:
R1 long<=ftrightarrow R2to [ccc|ccc 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 3 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Zeramos a entrada (3,1) usando R3 R3 - 3,R1:
[ccc|ccc 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 0 & -8 & 1 & 0 & -3 & 1 ]

Passo 5

Agora o pivot da coluna 2 é 2 em R2. Primeiro normalizamos: R212R2.
[ccc|ccc 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & tfrac12 & 0 & 0 0 & -8 & 1 & 0 & -3 & 1 ]
Em seguida, zeramos acima e abaixo dessa coluna 2:
  • R1 R1 - 3,R2
  • R3 R3 + 8,R2
[ccc|ccc 1 & 0 & -3 & -tfrac32 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & tfrac12 & 0 & 0 0 & 0 & 9 & 4 & -3 & 1 ]

Passo 6

Por fim, tratamos a coluna 3. Pivot em R3 vale 9, então R319R3:
[ccc|ccc 1 & 0 & -3 & -tfrac32 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & tfrac12 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & tfrac49 & -tfrac13 & tfrac19 ]
A seguir, zeramos acima:
  • R1 R1 + 3,R3
  • R2 R2 - R3
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & -tfrac16 & 0 & tfrac13 0 & 1 & 0 & tfrac118 & tfrac13 & -tfrac19 0 & 0 & 1 & tfrac49 & -tfrac13 & tfrac19 ]
Agora o bloco esquerdo é a identidade, e o direito é A^-1.

Resposta

A inversa de A é
A^-1 = -tfrac16 & 0 & tfrac13[6pt] tfrac118 & tfrac13 & -tfrac19[6pt] tfrac49 & -tfrac13 & tfrac19

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