Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrr -1 & 2 & 2 1 & 3 & 0 -4 & 1 & 1 ][l x1 x2 x3 ][r -1 4 -3 ]
Resolva o sistema dado usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento na diagonal.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o sistema
[
-1 & 2 & 2 [3pt] 1 & 3 & 0 [3pt] -4 & 1 & 1 x1x2x3 = -14-3


]
usando eliminação de Gauss com pivotamento na diagonal.
Conteúdo:
  1. Montar matriz aumentada.
  2. Para cada coluna, escolher como pivô o elemento de maior valor absoluto (pivotamento).
  3. Zerar abaixo do pivô usando operações elementares de linha.
  4. No final, temos uma matriz triangular superior e aplicamos retro-substituição para achar .

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada l[Amid br] = -1 & 2 & 2 &mid& -1[3pt] ;1 & 3 & 0 &mid& 4[3pt] -4 & 1 & 1 &mid& -3 :
[
\bigl[A\mid b\bigr]

-4 & 1 & 1 &mid& -3[3pt] ;1 & 3 & 0 &mid& 4[3pt] -1 & 2 & 2 &mid& -1 .
]
Na primeira coluna, os valores absolutos são , e o maior é (linha 3). Então fazemos pivotamento trocando a linha 1 com a linha 3:

Passo 3

Agora nosso pivô é m21=a21a11=1-4=-tfrac14, . Vamos zerar as entradas abaixo dele ( m31=a31a11=-1-4=+tfrac14, e -4 & 1 & 1 &mid& -3[3pt] ;0 & 3.25 & 0.25 &mid& 3.25[3pt] ;0 & 1.75 & 1.75 &mid& -0.25 ):
  1. Para zerar , calculamos o multiplicador
e fazemos .
2) Para zerar , calculamos
e fazemos .
Executando as contas obtemos:

Passo 4

Agora vamos ao segundo pivô, que fica em m32=a32a22=1.753.25=7/413/4=713, (já é o maior entre -4 & 1 & 1 &mid& -3[3pt] ;0 & 3.25 & 0.25 &mid& 3.25[3pt] ;0 & 0 & 1.61538 &mid& -2 , e , então não trocamos linhas).
Para zerar , calculamos
e fazemos . Isso leva a
onde é o novo .

Passo 5

Agora é só retro-substituir (temos triângulo superior):
  1. Da terceira linha:
1.61538,x3 = -2 Longrightarrow x3 = -21.61538 = -2621
  1. Da segunda linha:
3.25,x2 + 0.25,x3 = 3.25 ;Longrightarrow; x2 = 3.25 - 0.25,x33.25 = 3.25 - 0.25l(-tfrac2621r)3.25 = 2321
  1. Da primeira linha:
-4,x1 + x2 + x3 = -3 ;Longrightarrow; x1 = -3 - x2 - x3-4 = -3 - tfrac2321 + tfrac2621-4 = 57

Resposta

boxed(x1,,x2,,x3)=l(tfrac57,,tfrac2321,,-tfrac2621r)

Exercícios relacionados