Sabendo que f(x)=x+ln x=0 pode ser transformado num problema equivalente da forma x=psi(x). Para o processo iterativo definido por xk+1=psi(xk); analisar no intervalo [0.5,0.7] a convergência quando:
a. psi(x)=-ln x.
b. psi(x)=e^-x.
c. Calcule a raiz aproximada barx.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que temos a equação
f(x)=x+ln x=0
e transforma isso num problema de ponto-fixo
x=psi(x)
com o processo iterativo
xk+1=psi(xk)
No intervalo a gente tem que ver se essa iteração converge para duas escolhas de :
a)
b)
e depois © achar a raiz aproximada .
Matéria: Método do Ponto Fixo (Teorema de Banach). Para convergir precisamos basicamente de:
  1. leva em si mesma;
  2. é contratante, ou seja .

Passo 2

Análise de psi'(x)=-1xLongrightarrow|psi'(x)|=1x:
  1. Derivada
psi(0.5)=-ln(0.5)approx0.693,,psi(0.7)=-ln(0.7)approx0.357
em isso varia de até .
Logo , não é contratante.
2) Imagem do intervalo
ou seja, não fica todo dentro de .
Conclusão: não converge.

Passo 3

Análise de psi'(x)=-e^-xLongrightarrow|psi'(x)|=e^-x:
  1. Derivada
max|psi'|=e^-0.5approx0.6065<1,
em psi(0.5)=e^-0.5approx0.6065,psi(0.7)=e^-0.7approx0.4966, temos
ou seja, é contratante.
2) Imagem do intervalo
então . A extremidade inferior é um tiquinho abaixo de 0.5, mas como é contínua e contratante a iteração vai convergir para o ponto-fixo único.
Conclusão: converge.

Passo 4

Vamos achar essa raiz bar x=e^-bar x tal que
x1&=e^-0.6approx0.5488, x2&=e^-0.5488approx0.5771, x3&=e^-0.5771approx0.5616, x4&=e^-0.5616approx0.5697, x5&=e^-0.5697approx0.5655, x6&=e^-0.5655approx0.5684, x7&=e^-0.5684approx0.5666, x8&=e^-0.5666approx0.5676, x9&=e^-0.5676approx0.5670, x10&=e^-0.5670approx0.5672
Usamos . Escolho e itero até a diferença ficar menor que :
A diferença entre e já é menor que .

Resposta

a) não converge em .
b) converge (é contratante).
c) A raiz aproximada é .

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