Sabendo que
pode ser transformado num problema equivalente da forma
. Para o processo iterativo definido por
; analisar no intervalo
a convergência quando:
a.
.
b.
.
c. Calcule a raiz aproximada
.
a.
b.
c. Calcule a raiz aproximada
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que temos a equação
e transforma isso num problema de ponto-fixo
com o processo iterativo
No intervalo
a gente tem que ver se essa iteração converge para duas escolhas de
:
a)
b)
e depois © achar a raiz aproximada .
Matéria: Método do Ponto Fixo (Teorema de Banach). Para convergir precisamos basicamente de:
a)
b)
e depois © achar a raiz aproximada
Matéria: Método do Ponto Fixo (Teorema de Banach). Para convergir precisamos basicamente de:
-
leva em si mesma; -
é contratante, ou seja .
Passo 2
Análise de
:
- Derivada
em
isso varia de
até
.
Logo , não é contratante.
2) Imagem do intervalo
Logo
2) Imagem do intervalo
ou seja,
não fica todo dentro de
.
Conclusão: não converge.
Conclusão: não converge.
Passo 3
Análise de
:
- Derivada
em
temos
ou seja, é contratante.
2) Imagem do intervalo
2) Imagem do intervalo
então
. A extremidade inferior é um tiquinho abaixo de 0.5, mas como
é contínua e contratante a iteração vai convergir para o ponto-fixo único.
Conclusão: converge.
Conclusão: converge.
Passo 4
Vamos achar essa raiz
tal que
Usamos
. Escolho
e itero até a diferença ficar menor que
:
A diferença entre
e
já é menor que
.
Resposta
a)
não converge em
.
b) converge (é contratante).
c) A raiz aproximada é .
b)
c) A raiz aproximada é