Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrr -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1 & 1 & -3 ][l x1 x2 x3 ]=[r 11 4 -2 ]
b) Caso possível, determine a matriz inversa da matriz A do sistema dado, usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.

Passo 1

Beleza, aqui o exercício pede pra gente achar a matriz inversa de
A = -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1 & 1 & -3
usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
Conteúdo: Álgebra Linear – inversa de matriz 3×3.
O que vamos usar:
  • Montar a matriz aumentada .
  • A cada coluna, escolher o pivô (maior valor absoluto) e, se precisar, trocar linhas.
  • Normalizar o pivô pra 1 e zerar os outros elementos da coluna (Gauss–Jordan).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e escolhemos o pivô da 1ª coluna:
l[Amid Ir] = -9 & 5 & 6 &mid& 1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 &mid& 0 & 1 & 0 -1 & 1 & -3&mid& 0 & 0 & 1
Na coluna 1, os valores absolutos são 9, 2 e 1. O maior é 9 (linha 1), então não trocamos linhas.

Passo 3

Agora normalizamos o pivô da linha 1 (dividindo por –9) e zeramos abaixo:
  1. Linha 1 ← Linha 1 ÷ (–9):
l(1,,-tfrac59,,-tfrac23mid -tfrac19,0,0r)
  1. Zera posição (2,1):
    Linha 2 ← Linha 2 – 2×Linha 1 ⟹
  2. Zera posição (3,1):
    Linha 3 ← Linha 3 + Linha 1 ⟹

Passo 4

Pivô da 2ª coluna (linhas 2 e 3): os valores absolutos são e . O maior é (linha 2), sem troca.
  1. Linha 2 ← Linha 2 ÷ ( ) =
  2. Zera (1,2):
    Linha 1 ← Linha 1 + ( )×Linha 2 ⟹
  3. Zera (3,2):
    Linha 3 ← Linha 3 – ( )×Linha 2 ⟹

Passo 5

Pivô da 3ª coluna (linha 3): .
  1. Linha 3 ← Linha 3 ÷ (–145/37) =
  2. Zera acima (Gauss–Jordan completo):
  • Linha 1 ← Linha 1 + ×Linha 3 ⟹
  • Linha 2 ← Linha 2 – ×Linha 3 ⟹

Passo 6

A parte direita virou exatamente A^-1 = -,tfrac229 & tfrac21145 & -tfrac13145[6pt] tfrac129 & tfrac33145 & tfrac21145[6pt] tfrac129 & tfrac4145 & -tfrac37145 . Ou seja,

Resposta

boxed A^-1 = 1145 -10 & 21 & -13 ,5 & 33 & 21 ,5 & 4 & -37

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