Considere o seguinte sistema de equações lineares:
b) Caso possível, determine a matriz inversa da matriz A do sistema dado, usando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
Passo 1
Beleza, aqui o exercício pede pra gente achar a matriz inversa de
usando eliminação de Gauss com pivotamento parcial.
Conteúdo: Álgebra Linear – inversa de matriz 3×3.
O que vamos usar:
Conteúdo: Álgebra Linear – inversa de matriz 3×3.
O que vamos usar:
- Montar a matriz aumentada
. - A cada coluna, escolher o pivô (maior valor absoluto) e, se precisar, trocar linhas.
- Normalizar o pivô pra 1 e zerar os outros elementos da coluna (Gauss–Jordan).
Passo 2
Montamos a matriz aumentada e escolhemos o pivô da 1ª coluna:
Na coluna 1, os valores absolutos são 9, 2 e 1. O maior é 9 (linha 1), então não trocamos linhas.
Passo 3
Agora normalizamos o pivô da linha 1 (dividindo por –9) e zeramos abaixo:
- Linha 1 ← Linha 1 ÷ (–9):
- Zera posição (2,1):
Linha 2 ← Linha 2 – 2×Linha 1 ⟹
- Zera posição (3,1):
Linha 3 ← Linha 3 + Linha 1 ⟹
Passo 4
Pivô da 2ª coluna (linhas 2 e 3): os valores absolutos são
e
. O maior é
(linha 2), sem troca.
- Linha 2 ← Linha 2 ÷ (
) =
- Zera (1,2):
Linha 1 ← Linha 1 + ( )×Linha 2 ⟹
- Zera (3,2):
Linha 3 ← Linha 3 – ( )×Linha 2 ⟹
Passo 5
Pivô da 3ª coluna (linha 3):
.
- Linha 3 ← Linha 3 ÷ (–145/37) =
- Zera acima (Gauss–Jordan completo):
- Linha 1 ← Linha 1 +
×Linha 3 ⟹
- Linha 2 ← Linha 2 –
×Linha 3 ⟹
Passo 6
A parte direita virou exatamente
A^-1 = -,tfrac229 & tfrac21145 & -tfrac13145[6pt] tfrac129 & tfrac33145 & tfrac21145[6pt] tfrac129 & tfrac4145 & -tfrac37145 . Ou seja,