Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrrr -1.2 & 5 & 6 & 1 2 & 3.4 & 1 & 0 -1 & 1 & -3 & 1 5.6 & -2 & 1 & 1 ][l x1 x2 x3 x4 ]=[r 7 1 -2 2 ]
Usando o Software Numérico, resolva o sistema dado pelos seguintes métodos diretos:
Eliminação de Gauss-Jordan.

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é um sistema de 4 equações lineares com 4 incógnitas, dado por
[
-1.2 & 5 & 6 & 1 2 & 3.4 & 1 & 0 -1 & 1 & -3 & 1 5.6 & -2 & 1 & 1 x1x2x3x4 = 71-22

.
]
O conteúdo da matéria é “métodos diretos” para resolver sistemas lineares, especificamente a eliminação de Gauss–Jordan, que nada mais é do que transformar a matriz aumentada em forma escalonada reduzida (RREF). Para isso precisamos saber:
  1. O que é matriz aumentada;
  2. Como escolher pivôs (entradas não nulas) e escalar linhas para que esses pivôs fiquem com valor 1;
  3. Como usar operações de linha (somar múltiplos de linhas) para zerar todos os outros elementos na coluna do pivô;
  4. Repetir esses passos coluna a coluna até chegar na forma reduzida.

Passo 2

Primeiro, montamos a matriz aumentada [rrrr|r -1.2 & 5 & 6 & 1 & 7 2 & 3.4 & 1 & 0 & 1 -1 & 1 & -3 & 1 & -2 5.6 & -2 & 1 & 1 & 2 ] :
A ideia é passo a passo fazer essas transformações para que a esquerda vire a identidade , e aí o lado direito já é a solução.

Passo 3

Começamos pela primeira coluna (incógnita R1 1-1.2,R1 Longrightarrow [rrrr|r 1 & -4.1667 & -5 & -0.8333 & -5.8333 2 & 3.4 & 1 & 0 & 1 -1 & 1 & -3 & 1 & -2 5.6 & -2 & 1 & 1 & 2 ] ). O pivô natural é na posição (1,1). Para ficar 1, dividimos toda a linha 1 por :

Passo 4

Agora zeramos tudo na coluna 1, usando [rrrr|r 1 & -4.1667 & -5 & -0.8333 & -5.8333 0 & 11.7333 & 11 & 1.6667 & 12.6667 0 & -3.1667 & -8 & 0.1667 & -7.8333 0 & 21.3333 & 29 & 5.6667 & 34.6667 ] :
O resultado é

Passo 5

Passamos à segunda coluna ( R2 111.7333,R2 ;longrightarrow; [,0;;1;;0.9378;;0.1421mid1.0800,] ). O pivô escolhido é o elemento em (2,2). Para deixá-lo 1, dividimos a linha 2 por :

Passo 6

Com esse pivô em 1, zeramos a coluna 2 nas outras linhas:
  • [rrrr|r 1 & 0 & -1.0943 & -0.2413 & -1.3333 0 & 1 & 0.9378 & 0.1421 & 1.0800 0 & 0 & -5.0319 & 0.6157 & -4.4133 0 & 0 & 9 & 2.6387 & 11.6267 ]
Fica

Passo 7

Terceira coluna ( R3 1-5.0319,R3 ;longrightarrow; [,0;0;1;-0.1223mid0.8775,] ): pivô em (3,3) é . Dividimos a linha 3 por esse valor para ficar 1:

Passo 8

Zeramos o resto da coluna 3:
  • [rrrr|r 1 & 0 & 0 & -0.3753 & -0.3728 0 & 1 & 0 & 0.2567 & 0.2580 0 & 0 & 1 & -0.1223 & 0.8775 0 & 0 & 0 & 3.7396 & 3.7292 ]
Agora a matriz é

Passo 9

Quarta coluna ( R4 [,0;0;0;1mid0.9970,] approx[,0;0;0;1mid1,] ): pivô em (4,4) é . Dividimos toda a linha 4 por para ficar com

Passo 10

Por fim, zeramos a coluna 4 nas linhas 1, 2 e 3:
  • [rrrr|r 1 & 0 & 0 & 0 & 0.0000 0 & 1 & 0 & 0 & 0.0000 0 & 0 & 1 & 0 & 1.0000 0 & 0 & 0 & 1 & 1.0000 ]
O resultado final (quase exato, só com erro numérico mínimo) é

Resposta

Portanto a solução do sistema pelo método de Gauss–Jordan é
(x1,,x2,,x3,,x4) = (0,;0,;1,;1)

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