Considere o seguinte sistema de equações lineares:
b) Existe alguma permutação de linha ou colunas para o sistema acima que faz com que o Critério de Sassenfeld seja satisfeito? Caso haja , resolva o sistema dado pelo método iterativo de Gauss-Seidel com x^(0)=(0,0,0) e varepsilon=0.01.
Passo 1
Beleza, aqui o lance é: a questão está em “Métodos Iterativos” – mais especificamente no Critério de Sassenfeld (que dá uma condição suficiente de convergência) e no método de Gauss–Seidel.
O que vamos precisar:
Saber formular o Critério de Sassenfeld:
para cada linha betai = 1|aii|l(sumj=1^i-1|aij|betaj + sumj=i+1^n|aij|r) do sistemaSe , o GS converge.
Testar permutações de linhas e de colunas pra ver se em alguma o máximo dos fica abaixo de 1.
Se acharmos alguma, rodar o Gauss–Seidel até começando em .
Passo 2
Primeiro, aplicando direto ao sistema original
A= -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1& 1& -3 , b=114-2,
temos:
– Para beta1 = |5|+|6||-9| = 119approx1,22>1 :
Já deu ruim: . Ou seja, sem permutar nada, não satisfaz Sassenfeld.
Passo 3
Agora testamos permutações de linhas e de colunas (seja trocando a ordem das equações, seja trocando a ordem das incógnitas). Fizemos as 6 trocas de linha possíveis e as 6 trocas de coluna possíveis e, em todas, pelo menos um dos ficou maior ou igual a 1.
Exemplo rápido de uma permutação de linha que falha: trocar linha 1 com linha 2 dá primeiro , já não vale.
E toda outra combinação também gera algum .
Resposta
Não existe permutação de linha ou de colunas que faça com que todos os . Portanto, não podemos garantir a convergência do método de Gauss–Seidel via Critério de Sassenfeld e, logo, não aplicamos o iterativo aqui.