Considere o seguinte sistema de equações lineares:
[rrr -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1 & 1 & -3 ][l x1 x2 x3 ]=[r 11 4 -2 ]
b) Existe alguma permutação de linha ou colunas para o sistema acima que faz com que o Critério de Sassenfeld seja satisfeito? Caso haja , resolva o sistema dado pelo método iterativo de Gauss-Seidel com x^(0)=(0,0,0) e varepsilon=0.01.

Passo 1

Beleza, aqui o lance é: a questão está em “Métodos Iterativos” – mais especificamente no Critério de Sassenfeld (que dá uma condição suficiente de convergência) e no método de Gauss–Seidel.
O que vamos precisar:
  1. Saber formular o Critério de Sassenfeld:
    para cada linha betai = 1|aii|l(sumj=1^i-1|aij|betaj + sumj=i+1^n|aij|r) do sistema Se , o GS converge.
  2. Testar permutações de linhas e de colunas pra ver se em alguma o máximo dos fica abaixo de 1.
  3. Se acharmos alguma, rodar o Gauss–Seidel até começando em .

Passo 2

Primeiro, aplicando direto ao sistema original
A= -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1& 1& -3 , b=114-2,
temos:
– Para beta1 = |5|+|6||-9| = 119approx1,22>1 :
Já deu ruim: . Ou seja, sem permutar nada, não satisfaz Sassenfeld.

Passo 3

Agora testamos permutações de linhas e de colunas (seja trocando a ordem das equações, seja trocando a ordem das incógnitas). Fizemos as 6 trocas de linha possíveis e as 6 trocas de coluna possíveis e, em todas, pelo menos um dos ficou maior ou igual a 1.
Exemplo rápido de uma permutação de linha que falha: trocar linha 1 com linha 2 dá primeiro
, já não vale.
E toda outra combinação também gera algum .

Resposta

Não existe permutação de linha ou de colunas que faça com que todos os . Portanto, não podemos garantir a convergência do método de Gauss–Seidel via Critério de Sassenfeld e, logo, não aplicamos o iterativo aqui.

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