Considere o seguinte sistema de equações lineares:
a) Existe alguma permutação de linha ou colunas para o sistema acima que faz com que o Critério das Linhas seja satisfeito? Caso haja, resolva o sistema dado pelo método iterativo de Gauss-Jacobi com x^(0)=(0,0,0). e varepsilon=0.01.
Passo 1
Beleza, amigo! A questão pede para a gente olhar o sistema
[ -9 & 5 & 6 2 & 3 & 1 -1 & 1 & -3 x1x2x3 = 114-2
]
e ver se, ao permutar linhas ou colunas, a gente consegue deixar a matriz estritamente diagonalmente dominante por linhas (esse é o “Critério das Linhas”). Se der certo, aí a gente resolve o sistema por Gauss–Jacobi, começando de e parando quando o erro for menor que .
Conteúdo que vamos usar:
Critério das Linhas (dominância diagonal)
Permutação de linhas e colunas
Método iterativo de Gauss–Jacobi
Passo 2
Primeiro, o que é o Critério das Linhas?
Para cada linha |aii| ;>;sumjneq i |aij|, da matriz , você checa
Se isso vale para todas as linhas, a matriz é estritamente diagonalmente dominante por linhas e o método de Gauss–Jacobi converge garantido.
Passo 3
Vamos testar o sistema sem permutar nada:
Linha 1: e .
→ , não domina.
Linha 2: e .
→ (só igual), também não domina.
Linha 3: e .
→ , essa até domina, mas as outras duas falham.
Ou seja, originalmente não satisfaz.
Passo 4
Será que permutando linhas ou colunas melhora?
Permutar linhas só troca a ordem, mas cada linha mantém os mesmos valores absolutos, então não vai consertar o nem o .
Permutar colunas muda quais vão para a diagonal, mas como os valores fora da diagonal são bem grandes (5 e 6) e os candidatos à diagonal são só 2, 3 ou 1, não tem jeito de escolher três diagonais suficientemente grandes para superar as somas das outras duas entradas de cada linha.
Testamos algumas trocas de coluna e linha e não conseguimos uma configuração em que todas as linhas satisfaçam .
Resposta
Não existe nenhuma permutação de linhas ou colunas que torne a matriz estritamente diagonalmente dominante por linhas; logo, o Critério das Linhas não é satisfeito e não podemos garantir a convergência do método de Gauss–Jacobi pela via desse critério.