Considere o sistema de equações lineares:
[lll 0 & 0 & 1 2 & 2 & 0 t & 2 & 0 ][l x1 x2 x3 ]=[l 1 0 0 ]
b) Tome t=4, faça trocas de linhas e resolva o sistema obtido usando o método iterativo de Gauss-Seidel, com x^(0)= (0.1,0.1,0.1) e varepsilon=0.01.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema linear cuja matriz depende de x^(0)=(0.1,,0.1,,0.1), . No item (b) fixamos e pedem para usar o método de Gauss–Seidel. Como a gente precisa que a matriz seja diagonalmente dominante para garantir convergência fácil, vamos primeiro trocar linhas para que os elementos da diagonal sejam grandes o suficiente. Depois de reorganizar a gente vai aplicar o Gauss–Seidel com chute inicial
e critério de parada .

Passo 2

Troca de linhas para dominar a diagonal:
– Na forma original, a primeira linha tem coeficiente zero na coluna 1 e a terceira linha tem coeficiente A= 0 & 0 & 1 2 & 2 & 0 4 & 2 & 0 , b=100 . Então a gente troca a linha 1 com a linha 3.
Original:
A= 4 & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1 , b=001
Após trocar linha 1↔3:
Agora a matriz é diagonalmente dominante (cada ), o que ajuda o Gauss–Seidel a convergir.

Passo 3

Montando as fórmulas de iteração de Gauss–Seidel para
A x=b, A= 4 & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 1 , b=001
Como no Gauss–Seidel a gente usa imediatamente o valor atualizado, as fórmulas são:
x1^(k+1) &= 14l(0 - 2,x2^(k) - 0cdot x3^(k)r) = -tfrac12,x2^(k), x2^(k+1) &= 12l(0 - 2,x1^(k+1) - 0cdot x3^(k)r) = -,x1^(k+1), x3^(k+1) &= 11l(1 - 0cdot x1^(k+1) - 0cdot x2^(k+1)r) = 1
Teoria rápida: o Gauss–Seidel atualiza cada variável em sequência usando os valores mais recentes. Se a matriz for diagonalmente dominante, garante-se convergência.

Passo 4

Agora vamos iterar até que
x1^(1)=-tfrac12,(0.1)=-0.05, x2^(1)=-,(-0.05)=0.05, x3^(1)=1; De0.01 .
Chute inicial: x1^(2)=-tfrac12,(0.05)=-0.025, x2^(2)=-,(-0.025)=0.025, x3^(2)=1; De0.01 .
Iteração 1:
x1^(3)=-tfrac12,(0.025)=-0.0125, x2^(3)=0.0125, x3^(3)=1; De0.01
Iteração 2:
x1^(4)=-tfrac12,(0.0125)=-0.00625, x2^(4)=0.00625, x3^(4)=1; De
Iteração 3:
Iteração 4:
Como , paramos aqui.

Resposta

A solução aproximada pelo Gauss–Seidel, com tolerância xapprox(-0.00625,;0.00625,;1) , é

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